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多邊形對角線交點圖

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PolygonDiagonalIntersectionGraph

考慮透過在一個具有 n 個頂點的正多邊形中繪製每條對角線而獲得的平面圖形。如果每個交點都與一個節點相關聯，並且對角線在每個交點處被分割以形成與邊相關聯的線段，則由此產生的圖形是一個平面圖，這裡稱為多邊形對角線交點圖，並表示為 R_n。

對於 n=1, 2, ..., 頂點計數 v_n of R_n 為 1, 2, 3, 5, 10, 19, 42, 57, 135, 171, ... (OEIS A007569)，它們由以下有限和給出

delta_m(n)={1 if n=0 (mod m); 0 otherwise.
(1)

乘以 n 的多項式，其中 m=2, 4, 6, 12, 18, 24, 30, 42, 60, 84, 90, 120 和 210 (Poonen 和 Rubinstein 1998)。

對於 n=1, 2, ..., 邊計數 e_n of R_n 為 0, 1, 3, 8, 20, 42, 91, 136, 288, ... (OEIS A135565)，它們再次由多項式乘以 delta_m(n) 的有限和給出。

類似地，對於 n=1, 2, ..., 多邊形被劃分成的區域數量 f_n 由 1, 4, 11, 24, 50, 80, 154, 220, 375, ... (OEIS A007678) 給出，其中第 n 項由以下閉合形式給出

f_n=1/(24)(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)+1/(48)(-5n^3+42n^2-40n-48)delta_2(n)-3/4ndelta_4(n)+1/(12)(-53n^2+310n)delta_6(n)+(49)/2ndelta_(12)(n)+32ndelta_(18)(n)+19ndelta_(24)(n)-36ndelta_(30)(n)-50ndelta_(42)(n)-190ndelta_(60)(n)-78ndelta_(84)(n)-48ndelta_(90)(n)-78ndelta_(120)(n)-48ndelta_(210)(n).
(2)

對於 n 為奇數，除了第一項之外的所有項都消失了，因此區域的數量由下式給出

f_n=1/(24)(n^4-6n^3+23n^2-42n+24).
(3)

多邊形對角線交點圖的預計算屬性在 Wolfram Language 中實現為GraphData[{"DiagonalIntersection", n}].

另請參閱

完全圖, 尤拉多邊形分割問題, 多邊形對角線, 正多邊形, 正多邊形對角線分割

使用 探索

參考文獻

Dan. "Regular n-Gon With Diagonals: Bounds on Area of Largest Cell?" Dec. 17, 2022. https://mathoverflow.net/q/436753.Griffiths, M. "Counting the Regions in a Regular Drawing of K_(n,n)." J. Int. Seq. 13, No. 10.8.5, 2010. https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Griffiths2/griffiths.html.Meeus, J. Wiskunde Post (Belgium) 10, 62-63, 1972.Pickover, C. A. "The Beauty of Polygon Slicing." Ch. 58 in The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 132-134 and 314, 2002.Poonen, B. and Rubinstein, M. "Number of Intersection Points Made by the Diagonals of a Regular Polygon." SIAM J. Disc. Math. 11, 135-156, 1998.Sloane, N. J. A. Sequences A007678, A007569/M0724, and A135565 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

請引用為

Weisstein, Eric W. "多邊形對角線交點圖。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PolygonDiagonalIntersectionGraph.html

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