移動沙發問題

Moser (1966) 提出了以下問題：在單位寬度的二維走廊中，面積最大的平面圖形（“沙發”） 能夠繞過直角拐角移動。一個面積為 的單位正方形 可以很容易地“繞過”拐角移動，只需沿著走廊推動它直到碰到遠處的牆壁，然後沿著垂直的走廊拉動它即可，如上圖所示（Rommik 2016）。

雖然單位正方形可以在不旋轉的情況下“繞過”拐角移動，但當允許旋轉時，移動更大的形狀是可能的。要考慮的最簡單的這種形狀是半單位圓盤（填充的半圓），其面積為 ，它可以像上圖所示那樣滑過拐角（Rommik 2016）。

Hammersley（Croft等人1994，Rommik）透過將半圓盤切割成兩個四分之一圓盤進一步增加了面積，將它們水平分隔開 的距離，同時填充它們之間的間隙。此外，他從底部移除了一個半徑為 的較小半圓盤，從而產生了一個可以稱為 Hammersley 沙發 的形狀。當 時，其面積最大化，得到面積

（OEIS A086118；Croft等人1994，Rommik）。事實證明，對於任何值 ，包括給出最大面積的半徑 ，Hammersley 沙發都可以繞過拐角移動。最大 Hammersley 沙發繞過拐角的過程如上圖所示（Romik 2016）。

Gerver (1992) 發現了一種面積為 2.219531...（OEIS A128463；這個數字可以稱為 移動沙發常數）的沙發，略大於 Hammersley 最優沙發的面積 2.207416...（OEIS A086118）。這種沙發可以繞過拐角移動，Gerver (1992) 提供的論證表明它要麼是最優的，要麼接近最優。Gerver 沙發的邊界是一個複雜的形狀，由 3 條直線段和 15 個曲線段組成，每個曲線段都由解析表示式描述。Gerver 沙發繞過轉角的動畫如上圖所示（Romik 2016）。

假設軌跡和包絡線是凸的，Deng (2024) 使用變分法在一組曲線的引數方程上構建了一個積分泛函，透過求解尤拉-拉格朗日微分方程來確定沙發形狀。使用數值方法，這給出了一個面積為 2.2195316 的形狀，與 Gerver 沙發一致。Baek (2024) 證明了 Gerver 的構造達到了最大面積 2.2195...，其證明不需要計算機輔助，只需使用科學計算器進行數值計算即可。