模算術

模算術是算術同餘，有時也被非正式地稱為“時鐘算術”。在模算術中，數字在達到給定的固定數量時會“環繞”，這個固定的數量被稱為模數（在時鐘的小時情況下為 12，或者在時鐘的分鐘或秒鐘情況下為 60）。

形式上，模算術是整數環的任何非平凡同態像的算術。對於任何這樣的同態像 的 ，存在一個整數 使得 同構於模 的整數環 。環 中的加法由 中的加法確定，透過計算兩個整數 和 的和 除以 後的餘數。類似地，對於環 中的乘法，將兩個整數 和 相乘，並計算 除以 後的餘數。

對於每個正整數 ，環 有 個元素，即每個小於 的非負整數的等價類，在根據規則 當且僅當 整除 定義的 等價關係 下。將非負整數 的等價類 （在等價關係 下）表示為 是自然且常見的。

例如，在模 12 算術中（為此關聯環是 ），允許的數字是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11。這種算術有時被稱為“時鐘算術”，因為這裡的加法結構與用於確定十二小時時鐘的時間的結構相同，只是在時鐘上，0 通常被 12 替換。模 12 算術中的示例計算包括諸如“”或“”或“”之類的語句，儘管等號 通常被同餘符號 替換在這樣的語句中，以表明正在使用模算術。更明確地說，諸如

經常使用。

模 2 算術有時被稱為“布林算術”，因為環 是 布林環 的規範示例。