米爾斯定理

米爾斯 (1947) 證明了存在一個實常數 使得

(1)

對於所有整數 都是素數，其中 是向下取整函式。然而，米爾斯 (1947) 並沒有確定 ，甚至沒有給出 的範圍。

Ellison 和 Ellison (1985) 在練習中給出了米爾斯定理到任意正整數序列的推廣。

使得對於所有整數 ， 都是素數的最小 被稱為米爾斯常數。

米爾斯的證明基於 Hoheisel (1930) 和 Ingham (1937) 的以下定理。設 為第 個素數，則存在一個常數 使得

(2)

對於所有 。最近，這個結果被加強為

(3)

(Mozzochi 1986)。如果黎曼猜想為真，那麼 Cramér (1937) 證明了

(4)

(Finch 2003)。

Hardy 和 Wright (1979) 以及 Ribenboim (1996) 指出，儘管這些素數公式很漂亮，但它們沒有任何實際意義。事實上，除非已知 的確切值，否則必須事先知道素數本身才能確定 。