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對數級數分佈

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對數級數分佈，有時也稱為對數分佈（儘管本文將該術語保留給不同的分佈），是 ln(1-theta) 在 theta=0 附近的級數展開項的分佈。它的機率和密度函式由下式給出

P(n)=-(theta^n)/(nln(1-theta))
(1)
D(n)=1+(B(t;n+1,0))/(ln(1-t)),
(2)

其中 B(z;a,b) 是不完全貝塔函式。

對數級數分佈的實現為LogSeriesDistribution[theta]。

它被正確地歸一化，因為

-sum_(n=1)^infty(theta^n)/(nln(1-theta))=1.
(3)

第n個原點矩由下式給出

mu_n^'=-(Li_(1-n)(theta))/(ln(1-theta)),
(4)

其中 Li_n(z) 是一個多對數函式。

均值、方差、偏度和超額峰度

mu=theta/((theta-1)ln(1-theta))
(5)
sigma^2=-(theta[theta+ln(1-theta)])/((theta-1)^2[ln(1-theta)]^2)
(6)
gamma_1=(2theta^2+3thetaln(1-theta)+(1+theta)ln^2(1-theta))/(ln(1-theta)[theta+ln(1-theta)]sqrt(-theta[theta+ln(1-theta)]))ln(1-theta)
(7)
gamma_2=(6theta^3+12theta^2ln(1-theta)+theta(7+4theta)ln^2(1-theta)+(1+4theta+theta^2)ln^3(1-theta))/(theta[theta+ln(1-theta)]^2).
(8)

另請參閱

對數正態分佈, 對數分佈

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請引用本文為

Weisstein, Eric W. "對數級數分佈。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Log-SeriesDistribution.html

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