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勒讓德變換

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序列 {c_k} 的勒讓德變換是序列 {a_k}，其項由下式給出

a_n=sum_(k=0)^(n)(n; k)(n+k; k)c_k
(1)
=sum_(k=0)^(n)(2k; k)(n+k; n-k)c_k,
(2)

其中 (n; k) 是一個 二項式係數 (Jin and Dickinson 2000, Zudilin 2004)。 逆勒讓德變換由下式給出

(2n; n)c_n=sum_(k=0)^n(-1)^(n-k)d_(n,k)a_k,
(3)

其中

d_(n,k)=(2n; n-k)-(2n; n-k-1)
(4)
=(2k+1)/(n+k+1)(2n; n-k)
(5)

(Zudilin 2004)。

Strehl (1994) 和 Schmidt (1995) 表明

sum_(k=0)^n(n; k)^2(n+k; k)^2=sum_(k=0)^n(n; k)(n+k; k)sum_(j=0)^k(k; j)^3.
(6)

另請參閱

二項式求和， 勒讓德變換， 施密特問題， 斯特雷爾恆等式

使用 探索

參考文獻

Jin, Y. 和 Dickinson, H. "Apéry 序列與勒讓德變換。" J. Austral. Math. Soc. Ser. A 68, 349-356, 2000.Schmidt, A. L. "勒讓德變換與 Apéry 序列。" J. Austral. Math. Soc. Ser. A 58, 358-375, 1995.Strehl, V. "二項式恆等式——組合與演算法方面。離散數學趨勢。" Disc. Math. 136, 309-346, 1994.Zudilin, W. "關於 Asmus Schmidt 的組合問題。" Elec. J. Combin. 11, R22, 1-8, 2004. http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1r22.html.

在 中被引用

勒讓德變換

請引用為

Weisstein, Eric W. "勒讓德變換。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LegendreTransform.html

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