主題
Search

拉普拉斯方程--共焦橢球座標

使用 Byerly (1959, pp. 252-253) 的符號，拉普拉斯方程可以簡化為

del ^2F=(mu^2-nu^2)(partial^2F)/(partialalpha^2)+(lambda^2-nu^2)(partial^2F)/(partialbeta^2)+(lambda^2-mu^2)(partial^2F)/(partialgamma^2)=0,
(1)

其中

alpha=cint_c^lambda(dlambda)/(sqrt((lambda^2-b^2)(lambda^2-c^2)))
(2)
=F(b/c,pi/2)-F(b/c,sin^(-1)(c/lambda))
(3)
beta=cint_b^mu(dmu)/(sqrt((c^2-mu^2)(mu^2-b^2)))
(4)
=F(sqrt(1-b^2-c^2),sin^(-1)(sqrt((1-(b^2)/(mu^2))/(1-(b^2)/(c^2)))))
(5)
gamma=cint_0^nu(dnu)/(sqrt((b^2-nu^2)(c^2-nu^2)))
(6)
=F(b/c,sin^(-1)(nu/b)).
(7)

用 alpha, beta 和 gamma 表示，

lambda=cdc(alpha,b/c)
(8)
mu=bnd(beta,sqrt(1-(b^2)/(c^2)))
(9)
nu=bsn(gamma,b/c).
(10)

方程 (◇) 使用以下形式的函式不可分離

F=L(alpha)M(beta)N(gamma),
(11)

但如果我們令其為以下形式則可分離

1/L(d^2L)/(dalpha^2)=suma_klambda^k
(12)
1/M(d^2M)/(dbeta^2)=sumb_kmu^k
(13)
1/N(d^2N)/(dgamma^2)=sumc_knu^k.
(14)

這些給出

a_0=-b_0=c_0
(15)
a_2=-b_2=c_2,
(16)

並且所有其他項都消失。因此，(◇) 可以分解為以下方程

(d^2L)/(dalpha^2)=(a_0+a_2lambda^2)L
(17)
(d^2M)/(dbeta^2)=-(a_0+a_2mu^2)M
(18)
(d^2N)/(dgamma^2)=(a_0+a_2nu^2)N.
(19)

為了以後的方便，現在寫成

a_0=-(b^2+c^2)p
(20)
a_2=m(m+1),
(21)

那麼

(d^2L)/(dalpha^2)-[m(m+1)lambda^2-(b^2+c^2)p]L=0
(22)
(d^2M)/(dbeta^2)+[m(m+1)mu^2-(b^2+c^2)p]M=0
(23)
(d^2N)/(dgamma^2)-[m(m+1)nu^2-(b^2+c^2)p]N=0.
(24)

現在替換 alpha, beta 和 gamma 以獲得

(lambda^2-b^2)(lambda^2-c^2)(d^2L)/(dlambda^2)+lambda(lambda^2-b^2+lambda^2-c^2)(dL)/(dlambda) -[m(m+1)lambda^2-(b^2+c^2)p]L=0 (mu^2-b^2)(mu^2-c^2)(d^2M)/(dmu^2)+mu(mu^2-b^2+mu^2-c^2)(dM)/(dmu) -[m(m+1)mu^2-(b^2+c^2)p]M=0 (nu^2-b^2)(nu^2-c^2)(d^2N)/(dnu^2)+nu(nu^2-b^2+nu^2-c^2)(dN)/(dnu) -[m(m+1)nu^2-(b^2+c^2)p]N=0.
(25)

每一個都是 Lamé 微分方程，其解稱為第一類橢球諧函式。寫作

L(lambda)=E_m^p(lambda)
(26)
M(lambda)=E_m^p(mu)
(27)
N(lambda)=E_m^p(nu)
(28)

給出了 (◇) 的解，作為第一類橢球諧函式 E_m^p(x) 的乘積。

F=E_m^p(lambda)E_m^p(mu)E_m^p(nu).
(29)

另請參閱

共焦橢球座標, 第一類橢球諧函式, 亥姆霍茲微分方程

使用 探索

參考文獻

阿肯，G. "共焦橢球座標 (xi_1,xi_2,xi_3)." §2.15 in 物理學家數學方法，第二版。 奧蘭多，佛羅里達州：學術出版社，pp. 117-118, 1970。拜爾利，W. E. 傅立葉級數、球諧函式、柱諧函式和橢球諧函式初等論著，以及在數學物理問題中的應用。 紐約：多佛出版社，pp. 251-258, 1959。穆恩，P. 和 斯賓塞，D. E. 場論手冊，包括座標系、微分方程及其解，第二版。 紐約：施普林格出版社，pp. 43-44, 1988。莫爾斯，P. M. 和 費什巴赫，H. 理論物理方法，第一部分。 紐約：麥格勞-希爾，p. 663, 1953。

引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "拉普拉斯方程--共焦橢球座標。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/LaplaceEquationConfocalEllipsoidalCoordinates.html

主題分類