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反 Gudermannian 函式

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反函式 Gudermannian y=gd^(-1)phi 給出 墨卡託投影 中縱向位置 y，以 緯度 phi 表示，並且可以定義為 0<=x<pi/2

gd^(-1)(x)=int_0^xsectdt
(1)
=2tanh^(-1)[tan(1/2x)]
(2)
=1/2ln((1+sinx)/(1-sinx))
(3)
=ln[tan(1/4pi+1/2x)]
(4)
=ln(secx+tanx).
(5)

反 Gudermannian 函式在 Wolfram 語言 中實現為InverseGudermannian[z].

其導數由下式給出

d/(dx)gd^(-1)(x)=secx.
(6)

它具有 麥克勞林級數

gd^(-1)(x)=x+1/6x^3+1/(24)x^5+(61)/(5040)x^7+(277)/(72576)x^9+...
(7)

(OEIS A091912 和 A136606)。

另請參閱

Gudermannian 函式

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參考文獻

Beyer, W. H. “Gudermannian 函式。” CRC 標準數學表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 164, 1987。Sloane, N. J. A. 序列 A091912 和 A136606，出自“整數序列線上百科全書”。Zwillinger, D. (Ed.). “Gudermannian 函式。” §6.9，出自CRC 標準數學表和公式，第 31 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 530-532, 1995。

在 中引用

反 Gudermannian 函式

請引用為

Weisstein, Eric W. “反 Gudermannian 函式。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/InverseGudermannian.html

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