超正弦

超正弦（-維正弦函式）是 n 維平行多面體或單純形的頂點角的函式。如果平行多面體的體積是 ，且在頂點 相交的平行多面體的 個面的體積是 ，那麼該頂點的 維正弦值為

(1)

將平行多面體的一條邊的長度改變一個因子，體積 會以相同的因子改變，而除一個面之外的所有面的體積也會以相同的因子改變。因此，邊的長度的改變不影響等式右側的值，並且正弦函式僅取決於平行多面體的邊之間的角度，而不是它們的長度。此外，平行多面體的所有頂點角的正弦值都相同，因為相對的面具有相同的體積，並且每對相對的面中都有一面在每個頂點相交。如果我們延伸一個頂點處的面，所有由此形成的 個頂點角都具有相同的正弦值，因為它們只是平行多面體的頂點角的平移。

當平行多面體是正交多面體且其所有頂點角都是直角時， 維正弦的最大值為 1。對於位於較低維度空間並因此退化的平行多面體或單純形， 維正弦的最小值為零。如果一個單純形有一個直角（所有邊都相互正交），則它是一個直角單純形，並且除直角之外的頂點角的正弦平方和為 1。 維直角單純形的任何頂點角的 維正弦是對面的體積與直角對面面的體積之比。

n 維平行多面體的一個頂點的頂點單純形是以該頂點和平行多面體的 個相鄰頂點作為其頂點的單純形。它的體積（以及所有其他頂點單純形的體積）是平行多面體的體積除以 。如果 維單純形的體積是 ，且在頂點 相交的 個面的體積是 ，則該單純形可以被視為平行多面體的頂點單純形，並且這些面也是平行多面體的面的頂點單純形，相對於相同的頂點。代入公式 (1) 得到

(2)

如果我們將單純形的剩餘面標記為 ，我們可以推匯出

(3)

由於等式右側與選擇單純形的哪個頂點無關，因此等式左側對於所有頂點都相同，因此 n 維單純形存在正弦定理，使得一個頂點的正弦與對面體積的比值對於所有頂點都相同。

對於橢圓或球面空間中的單純形，單純形的頂點的正弦等於其極單純形的面的極正弦，該頂點是該極單純形面的極點。該面的邊具有弧長（以弧度為單位），該弧長與頂點角的面之間的相應二面角互補。使用這個，我們可以應用極單純形的面的極正弦公式（用其邊表示）來從在該角相交的面之間的二面角計算 維正弦。如果面 和 之間的二面角是 ，則

(4)

對於在頂點 相交的面之間的二面角為 、 和 的四面體，我們有

(5)

平行多面體的體積等於頂點角的極正弦與在該角相交的邊的乘積。如果我們將 識別為平行多面體的面 的頂點角，我們可以代入公式 (1) 並消去邊以獲得

(6)

極正弦對於平行多面體的所有頂點都相同，並且可以很容易地從 維角的邊之間的平面角計算出來。

在二維空間中，三角形頂點的 維正弦與頂點角的正弦相同。在三維空間中，頂點角處面角為 、 和 的四面體的頂點角的 維正弦由下式給出

(7)