極座標正弦

極座標正弦是 n 維平行多面體或單純形體的頂角函式。如果平行多面體的體積是 ，且在頂點 相交的 條邊的長度分別是 , , ..., ，那麼該頂點的極座標正弦值為

將平行多面體的一條邊的長度改變一個因子，體積 也改變相同的因子。因此，邊長的改變不影響等式右邊的值，極座標正弦函式僅取決於平行多面體邊之間的角度，而不是它們的長度。此外，平行多面體所有頂角的極座標正弦值都相同，因為定義的等式右邊不依賴於所選的頂點。如果我們在一個頂點處延伸各個面，所有由此形成的 個頂角都具有相同的極座標正弦值，因為它們僅僅是平行多面體頂角的平移。

如果一個球體以 n 維角的頂點為中心，該角的 條射線與球體相交於 個點，這些點是張成該角的 維球面單純形體的頂點。我們將該球面單純形體的極座標正弦定義為它所張成的角的極座標正弦。對於一個 n 維球面單純形體 ，如果頂點 和 之間的邊的長度為 ，則其在高斯曲率 高斯曲率 的空間中的極座標正弦值由下式給出

設一個 n 維球面單純形體位於一個以 為中心的球面上，並構造其極單純形體。那麼，由從 出發穿過極單純形體的頂點的射線形成的在 處的 n 維角的正弦值等於原始單純形體的極座標正弦值。

當空間曲率 趨近於零時，n 維球面單純形體的極座標正弦的極限是 ，其中 是具有相同邊長的歐幾里得單純形體的體積。