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亥姆霍茲微分方程--圓錐座標

在 圓錐座標中，拉普拉斯方程可以寫成

(partial^2V)/(partialalpha^2)+(partial^2V)/(partialbeta^2)+(mu^2-nu^2)partial/(partiallambda)(lambda^2(partialV)/(partiallambda))=0,
(1)

其中

alpha=int_a^mu(dmu)/(sqrt((mu^2-a^2)(b^2-mu^2)))
(2)
beta=int_0^nu(dnu)/(sqrt((a^2-nu^2)(b^2-nu^2)))
(3)

（Byerly 1959）。令

V=U(u)R(r)
(4)

將式(1)分解為兩個方程，

d/(dr)(r^2(dR)/(dr))=m(m+1)R
(5)
(partial^2U)/(partialalpha^2)+(partial^2U)/(partialbeta^2)+m(m+1)(mu^2-nu^2)U=0.
(6)

解這些方程得到

R(r)=Ar^m+Br^(-m-1)
(7)
U(u)=E_m^p(mu)E_m^p(nu),
(8)

其中 E_m^p 是第一類橢球諧波。因此，正則解是

V=Ar^mE_m^p(mu)E_m^p(nu).
(9)

然而，由於圓柱對稱性，解 E_m^p(mu)E_m^p(nu) 是一個 m 次球諧函式。

另請參閱

圓錐座標, 亥姆霍茲微分方程

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參考文獻

Arfken, G. "圓錐座標 (xi_1,xi_2,xi_3)." §2.16 in 物理學家的數學方法，第二版 Orlando, FL: Academic Press, pp. 118-119, 1970.Byerly, W. E. 傅立葉級數、球諧函式、柱諧函式和橢球諧函式的基礎教程，及其在數學物理問題中的應用。 New York: Dover, p. 263, 1959.Moon, P. and Spencer, D. E. 場論手冊，包括座標系、微分方程及其解，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 39-40, 1988.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理論物理方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 514 and 659, 1953.

請引用本文為

Weisstein, Eric W. “亥姆霍茲微分方程--圓錐座標。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HelmholtzDifferentialEquationConicalCoordinates.html

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