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Hafner-Sarnak-McCurley 常數

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給定兩個隨機選擇的 n×n 整數矩陣，其對應的行列式互質的機率 D(n) 是多少？Hafner 等人 (1993) 證明了

D(n)=product_(k=1)^infty{1-[1-product_(j=1)^n(1-p_k^(-j))]^2},
(1)

其中 p_n 是第 n 個素數。

HafnerSarnakMcCurley

D(1) 的情況就是兩個隨機整數互質的機率，

D(1)=6/(pi^2)=0.6079271019...
(2)

(OEIS A059956)。對於 n>=2，目前尚無解析結果。前幾個 n 的近似值如下：

D(2) approx 0.453103
(3)
D(3) approx 0.397276
(4)
D(4) approx 0.373913
(5)
D(5) approx 0.363321.
(6)

Vardi (1991) 計算了極限

sigma=lim_(n->infty)D(n)=0.3532363719...
(7)

(A085849)。收斂速度大約為 ∼0.57^n (Flajolet 和 Vardi 1996)。

另請參閱

整數矩陣, 互質

使用 探索

參考文獻

Finch, S. R. "Hafner-Sarnak-McCurley 常數。" 《Mathematical Constants.》§2.5。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 110-112, 2003。Flajolet, P. 和 Vardi, I. "經典常數的 Zeta 函式展開。" 未發表的手稿。 1996. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps。Hafner, J. L.; Sarnak, P.; 和 McCurley, K. "多項式的互質值。" 收錄於 《A Tribute to Emil Grosswald: Number Theory and Related Analysis》（M. Knopp 和 M. Seingorn 編輯）。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993。Sloane, N. J. A. "序列 A059956 和 A085849，收錄於“整數序列線上百科全書”。"Vardi, I. 《Computational Recreations in Mathematica.》。 Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1991。

在 中被引用

Hafner-Sarnak-McCurley 常數

請引用為

Weisstein, Eric W. “Hafner-Sarnak-McCurley 常數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Hafner-Sarnak-McCurleyConstant.html

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