群直和

群直和是指序列 的群 是由所有序列 組成的集合，其中每個 是 的元素，並且 等於 單位元 ，除了有限索引集 之外的所有索引。 它被記為

(1)

並且它是一個群，關於從群 的運算匯出的分量運算。

這個定義可以很容易地擴充套件到任何群的集合 ，其中 是任何有限或無限索引集。

如果去掉關於單位元的附加條件，我們就得到群直積的定義。因此，當索引集是有限的時候，這兩個概念是一致的。因此，對於任何群 和 ,

(2)

表示相同的物件。

如果 和 是同一個加法群 的子群，等式

(3)

通常意味著每個 都有一個唯一的分解 ，其中 和 ，因此 本質上與所有有序對 的集合相同。