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古德斯坦序列

給定一個數 遺傳表示，以 基數 b 表示的 n，令 B[b](n) 為非負整數，它是透過在語法上將每個 b 替換為 b+1 而得到的（即，B[b] 是一個基數更改運算子，將基數從 b “提升”到 b+1）。266 在基數 2 中的遺傳表示是

266=2^8+2^3+2
(1)
=2^(2^(2+1))+2^(2+1)+2,
(2)

因此，將基數從 2 提升到 3 得到

B[2](266)=3^(3^(3+1))+3^(3+1)+3.
(3)

現在重複提升基數並減去 1，

G_0(266)=266
(4)
=2^(2^(2+1))+2^(2+1)+2
(5)
G_1(266)=B[2](266)-1=3^(3^(3+1))+3^(3+1)+2
(6)
G_2(266)=B[3](G_1)-1=4^(4^(4+1))+4^(4+1)+1
(7)
G_3(266)=B[4](G_2)-1=5^(5^(5+1))+5^(5+1)
(8)
G_4(266)=B[5](G_3)-1=6^(6^(6+1))+6^(6+1)-1
(9)
=6^(6^(6+1))+5·6^6+5·6^5+...+5·6+5
(10)
G_5(266)=B[6](G_4)-1
(11)
=7^(7^(7+1))+5·7^7+5·7^5+...+5·7+4,
(12)

等等。

從整數 n 開始此過程得到古德斯坦序列 {G_k(n)}。令人驚奇的是，儘管序列的項明顯快速增加，古德斯坦定理指出，對於任何 n 和任何足夠大的 k，G_k(n) 都為 0。更令人驚訝的是，Paris 和 Kirby 在 1982 年證明了古德斯坦定理在普通的皮亞諾算術中是不可證明的 (Borwein and Bailey 2003, p. 35)。

另請參閱

古德斯坦定理, 遺傳表示, 巴黎-哈靈頓定理

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. and Bailey, D. 實驗數學：21 世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 34-35, 2003.Goodstein, R. L. "關於受限序數定理。" J. Symb. Logic 9, 33-41, 1944.Henle, J. M. 集合論概要。 New York: Springer-Verlag, 1986.Simpson, S. G. "不可證明的定理和快速增長的函式。" Contemp. Math. 65, 359-394, 1987.

在 中被引用

古德斯坦序列

請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "古德斯坦序列。" 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/GoodsteinSequence.html

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