基本單位

設為具有個實嵌入和個虛嵌入的數域，並設。則的單位的乘法群具有以下形式

$U_K={zeta_K^(e_0)epsilon_1^(e_1)epsilon_2^(e_2)...epsilon_r^(e_r):e_i in Z},$

(1)

其中是本原次單位根，對於最大，使得中存在本原次單位根。每當是二次域時，（除非，在這種情況下，或者，在這種情況下）。因此，同構於群。個生成元，對於，被稱為的基本單位。實二次數域和虛三次數域只有一個基本單位，而虛二次數域沒有基本單位。觀察到是的撓子群的階，並且的確定取決於 -基的變化以及乘以單位根的倍數。

數域的基本單位與調節器密切相關。

由代數數生成的域的基本單位可以在 Wolfram 語言中使用以下命令計算NumberFieldFundamentalUnits[a]。

在實二次域中，存在一個特殊的單位，稱為基本單位，使得所有單位由給出，對於、、、.... 符號有時用於代替 (Zucker and Robertson 1976)。實二次域的基本單位可以從佩爾方程的基本解計算得出

(2)

其中符號的選擇使得解具有最小的可能正 (LeVeque 1977; Cohn 1980, p. 101; Hua 1982; Borwein and Borwein 1987, p. 294)。如果取正號，則一個解簡單地由給出，其中是佩爾方程的解

(3)

然而，這不一定是最小解。例如，佩爾方程的解

(4)

是，因此，但是最小解。

對於非平方正整數，最小的 s 由 2, 4, 1, 10, 16, 2, 6, 20, 4, 3, 30, 8, 8, 34, 340, 4, 5, ... (OEIS A048941) 給出，而最小的 s 由 2, 2, 1, 4, 6, 1, 2, 6, 1, 1, 8, 2, 2, 8, 78, 1, 1, 84, ... (OEIS A048942) 給出。給定一個最小的，基本單位由下式給出

(5)

(Cohn 1980, p. 101)。

下表給出了小的基本單位。


2		54
3		55
5		56
6		57
7		58
8		59
10		60
11		61
12		62
13		63
14		65
15		66
17		67
18		68
19		69
20		70
21		71
22		72
23		73
24		74
26		75
27		76
28		77
29		78
30		79
31		80
32		82
33		83
34		84
35		85
37		86
38		87
39		88
40		89
41		90
42		91
43		92
44		93
45		94
46		95
47		96
48		97
50		98
51		99
52		101
53		102

下表給出了平方自由數，對於這些數，的分母是，對於或 2。這些序列與艾森斯坦問題相關：對於大的，沒有已知的快速計算方法 (Finch)。

	OEIS	平方自由數，其中
1	A107997	5, 13, 21, 29, 53, 61, 69, 77, 85, 93, ...
2	A107998	2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 22, ...

另請參閱

佩爾方程, 實二次域, 調節器, 單位

此條目的部分內容由 Steven Finch 貢獻

此條目的部分內容由 Loïc Grenié 貢獻

此條目的部分內容由 David Terr 貢獻

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Cohn, H. "Fundamental Units" and "Construction of Fundamental Units." §6.4 and 6.5 in Advanced Number Theory. New York: Dover, pp. 98-102, and 261-274, 1980.Finch, S. R. "Class Number Theory." http://algo.inria.fr/csolve/clss.pdf.Hua, L. K. Introduction to Number Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1982.Ireland, K. and Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 192, 1990.LeVeque, W. J. Fundamentals of Number Theory. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.Narkiewicz, W. Elementary and Analytic Number Theory of Algebraic Numbers. Warsaw: Polish Scientific Publishers, 1974.Sloane, N. J. A. Sequences A048941, A048942, A107997, and A107998 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stark, H. M. An Introduction to Number Theory. Cambridge, MA: MIT Press, 1994.Zucker, I. J. and Robertson, M. M. "Some Properties of Dirichlet

-Series." J. Phys. A: Math. Gen. 9, 1207-1214, 1976.

在上引用

基本單位

請引用為

Finch, Steven; Grenié, Loïc; Terr, David; 和 Weisstein, Eric W. "基本單位。" 出自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FundamentalUnit.html


2		54
3		55
5		56
6		57
7		58
8		59
10		60
11		61
12		62
13		63
14		65
15		66
17		67
18		68
19		69
20		70
21		71
22		72
23		73
24		74
26		75
27		76
28		77
29		78
30		79
31		80
32		82
33		83
34		84
35		85
37		86
38		87
39		88
40		89
41		90
42		91
43		92
44		93
45		94
46		95
47		96
48		97
50		98
51		99
52		101
53		102


2		54
3		55
5		56
6		57
7		58
8		59
10		60
11		61
12		62
13		63
14		65
15		66
17		67
18		68
19		69
20		70
21		71
22		72
23		73
24		74
26		75
27		76
28		77
29		78
30		79
31		80
32		82
33		83
34		84
35		85
37		86
38		87
39		88
40		89
41		90
42		91
43		92
44		93
45		94
46		95
47		96
48		97
50		98
51		99
52		101
53		102

基本單位

另請參閱

使用 探索

參考文獻

在 上引用

請引用為

主題分類

使用探索

在上引用


2		54
3		55
5		56
6		57
7		58
8		59
10		60
11		61
12		62
13		63
14		65
15		66
17		67
18		68
19		69
20		70
21		71
22		72
23		73
24		74
26		75
27		76
28		77
29		78
30		79
31		80
32		82
33		83
34		84
35		85
37		86
38		87
39		88
40		89
41		90
42		91
43		92
44		93
45		94
46		95
47		96
48		97
50		98
51		99
52		101
53		102