主題
Search

Favard 常數

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

設 T_n(x) 為任意三角多項式

T_n(x)=1/2a_0+{sum_(k=1)^n[a_kcos(kx)+b_ksin(kx)]}
(1)

具有實數係數，設 f 為在區間 [-pi,pi] 上可積的函式，並設 r 階導數 f 在 [-1,1] 中有界。則存在一個多項式 T_n(x) 使得

|f(x)-T_n(x)|<=(K_r)/((n+1)^r),
(2)

對於所有 x in [-pi,pi]，其中 K_r 是可能的最小常數，稱為第 r 階 Favard 常數。

K_r 可以用以下求和式顯式給出

K_r=4/pisum_(k=0)^infty[((-1)^k)/(2k+1)]^(r+1),
(3)

它可以根據 Lerch 超越函式 寫成

K_r=(2^(1-r))/piPhi((-1)^(r+1),r+1,1/2).
(4)

這些可以表示為

K_r={4/pilambda(r+1) for r even; 4/pibeta(r+1) for r odd,
(5)

其中 lambda(x) 是 Dirichlet lambda 函式，而 beta(x) 是 Dirichlet beta 函式。 顯式地，

K_0=1
(6)
K_1=1/2pi
(7)
K_2=1/8pi^2
(8)
K_3=1/(24)pi^3
(9)
K_4=5/(384)pi^4
(10)
K_5=1/(240)pi^5
(11)

(OEIS A050970 和 A050971)。

另請參閱

Dirichlet Beta 函式, Dirichlet Lambda 函式

使用 探索

參考文獻

Finch, S. R. "Achieser-Krein-Favard Constants." §4. 2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 255-257, 2003.Kolmogorov, A. N. "Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourierscher reihen differenzierbarer Funktionen." Ann. Math. 36, 521-526, 1935.Sloane, N. J. A. Sequences A050970 and A050970 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Zygmund, A. G. Trigonometric Series, Vols. 1-2, 2nd ed. New York: Cambridge University Press, 1959.

在 上被引用

Favard 常數

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "Favard Constants." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FavardConstants.html

主題分類