主題
Search

橢圓有理函式

橢圓有理函式 R_n(xi,x) 是一類特殊的有理函式，它們在區間 x in [-1,1] 上逼近其他函式時具有良好的性質。 特別是，它們是等波紋的，滿足在 |R_n(xi,x)|<=1 |x|<=1 範圍內 極小極大逼近 在 |x|>=xi 範圍內，在 x in [1,xi] 上表現出單調遞增，並且具有最小階數 n 。 其他性質包括對稱性

R_n^2(xi,-x)=R_n^2(xi,x),
(1)

歸一化

R_n(xi,1)=1,
(2)

該性質

R_n(xi,x)=(R_n(xi,xi))/(R_n(xi,xi/x)),
(3)

和巢狀性質

R_(mn)(xi,x)=R_m(R_n(xi,xi),R_n(xi,x))
(4)

（Lutovac et al. 2001）。

EllipticRationalFunctions

令判別因子 L_n(xi) 為 R_n(xi,x) 在 |x|>=1 範圍內的最大值，橢圓有理函式可以定義為

R_n(xi,x)=cd(n(K([L_n(xi)]^(-1)))/(K(xi^(-1)))cd^(-1)(x,xi^(-1)),[L_n(xi)]^(-1)),
(5)

其中 K(k) 是第一類完全橢圓積分，cd(u,k) 是雅可比橢圓函式，並且 cd^(-1)(x,k) 是反雅可比橢圓函式。對於 n=1 、2 和 3，這些函式由下式給出

R_1(xi,x)=x
(6)
R_2(xi,x)=((sqrt(1-xi^_^2)+1)x^2-1)/((sqrt(1-xi^_^2)-1)x^2+1)
(7)
R_3(xi,x)=([1+dn(2/3K(xi^_),xi^_)]^2x^2-[1+2dn(2/3K(xi^_),xi^_)]^2)/([dn^2(2/3K(xi^_),xi^_)]x^2+1)x,
(8)

其中 xi^_=xi^(-1)。R_n(xi,x) 可以用閉合形式表示，而無需使用橢圓函式，對於 n 形式為 n=2^i3^j。

橢圓有理函式與第一類切比雪夫多項式 T_n(x) 相關，關係如下

lim_(xi->infty)R_n(xi,x)=cos(ncos^(-1)x)=T_n(x).
(9)

參見

第一類切比雪夫多項式, 橢圓函式, 有理函式

使用 探索

參考文獻

Antoniou, A. 數字濾波器：分析與設計。 New York: McGraw-Hill, 1979.Daniels, R. W. 電子濾波器設計逼近方法。 New York: McGraw-Hill, 1974.Lutovac, M. D.; Tosic, D. V.; and Evans, B. L. 訊號處理濾波器設計：使用 MATLAB 和 Mathematica。 Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 2001.

在 上被引用

橢圓有理函式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "橢圓有理函式。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/EllipticRationalFunction.html

主題分類