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互相關定理

設 f*g 表示函式 f(t) 和 g(t) 的互相關。那麼

f*g=int_(-infty)^inftyf^_(tau)g(t+tau)dtau
(1)
=int_(-infty)^infty[int_(-infty)^inftyF^_(nu)e^(2piinutau)dnuint_(-infty)^inftyG(nu^')e^(-2piinu^'(t+tau))dnu^']dtau
(2)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piitau(nu^'-nu))e^(-2piinu^'t)dtaudnudnu^'
(3)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piinu^'t)[int_(-infty)^inftye^(-2piitau(nu^'-nu))dtau]dnudnu^'
(4)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu^')e^(-2piinu^'t)delta(nu^'-nu)dnu^'dnu
(5)
=int_(-infty)^inftyF^_(nu)G(nu)e^(-2piinut)dnu
(6)
=F[F^_(nu)G(nu)],
(7)

其中 F 表示傅立葉變換，z^_ 是複共軛，以及

f(t)=F_nu[F(nu)](t)=int_(-infty)^inftyF(nu)e^(-2piinut)dnu
(8)
g(t)=F_nu[G(nu)](t)=int_(-infty)^inftyG(nu)e^(-2piinut)dnu.
(9)

在等式兩邊應用傅立葉變換得到互相關定理，

f*g=F[F^_(nu)G(nu)].
(10)

如果 F=G，那麼互相關定理簡化為維納-辛欽定理。

另請參閱

傅立葉變換, 維納-辛欽定理

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引用為

Weisstein, Eric W. "互相關定理。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Cross-CorrelationTheorem.html

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