列聯表

列聯表，有時也稱為雙向頻率表，是一種表格機制，至少有兩行和兩列，在統計學中用於以頻數計數的形式呈現分類資料。更準確地說，一個 列聯表顯示了兩個變數的觀測頻率，這些觀測頻率被排列成 行和 列。列聯表的行和列的交叉點稱為單元格。

例如，上面的列聯表有兩行五列（不包括標題行/列），顯示了根據兩個變數（即性別和最喜歡的冰淇淋食用方式 (Larson and Farber 2014)）對 名成年人進行隨機抽樣的結果。以列聯表形式呈現資料的一個好處是，它可以更輕鬆地執行基本的機率計算，透過在表格中新增彙總行和列，這項工作變得更加容易。

上表是透過新增彙總行和列獲得的第一個表的擴充套件版本。這些彙總使得更容易計算幾個不同的機率相關量。例如，被抽樣的人喜歡用杯子吃冰淇淋的機率約為 ，即 45.54%，而隨機參與者是女性的機率約為 ，即 45.45%。更重要的是，使用列聯表可以更輕鬆地計算條件機率，例如，在已知該人為男性的情況下，某人喜歡冰淇淋三明治的機率為 ，即 2%，而在已知偏好冰淇淋三明治的情況下，某人為男性的條件機率為 ，約為 54.54%。

其他常見的統計分析可以在以列聯表形式給出的資料上執行。例如，一個有用的已知值是列 和行 交匯處的單元格的所謂期望頻率 ，其公式為：

(1)

計算 表示在單元格 處期望的值——即，喜歡用杯子吃冰淇淋的男性人數的期望值——大約是：

(2)

由此可以推斷出，在給定的樣本中，該特定人群的“多於預期”。另請注意，知道 會自動給出，例如 ，而無需重複應用 ()

(3)

計算期望頻率的主要好處之一是能夠檢驗所檢查的兩個變數（在本例中為性別和最喜歡的冰淇淋食用方式）是否像之前假設的那樣實際上是獨立的。這是透過計算每個單元格 的期望頻率 ，將其與觀測頻率 進行比較，然後執行卡方檢驗來完成的。

與列聯表相關的另一個常見檢驗是所謂的比例同質性檢驗，它是卡方檢驗的一種形式，用於確定當從不同人群中抽取樣本時，幾個比例是否相等 (Larson and Farber 2014)。值得注意的是，上述卡方檢驗的兩個例項都需要對觀測頻率進行隨機抽樣，且每個觀測頻率的期望頻率至少為 5。這些檢驗在統計學的各個分支中都起著重要作用。