因此，它是樣本與期望偏差的度量，其中 是樣本大小。卡爾·皮爾遜證明了 的極限分佈是卡方分佈 (Kenney and Keeping 1951, pp. 114-116)。
分佈取值大於測量值 的機率 由下式給出
(2)
(3)
(4)
在使用 檢驗擬合曲線時，存在一些微妙之處 (Kenney and Keeping 1951, pp. 118-119)。當使用 擬合單引數解時，可以透過在三個點計算 值，繪製這些點相對於引數值的圖，然後找到穿過這些點的拋物線擬合的最小值來找到最佳擬合引數值 (Cuzzi 1972, pp. 162-168)。
Cuzzi, J. The Subsurface Nature of Mercury and Mars from Thermal Microwave Emission. Ph.D. Thesis. Pasadena, CA: California Institute of Technology, 1972.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.
, 
, ..., 
, 觀測到的頻數為 
, 
, ..., 
。量
是樣本大小。卡爾·皮爾遜證明了 
的極限分佈是卡方分佈 (Kenney and Keeping 1951, pp. 114-116)。
的機率 
由下式給出
檢驗擬合曲線時，存在一些微妙之處 (Kenney and Keeping 1951, pp. 118-119)。當使用 
擬合單引數解時，可以透過在三個點計算 
值，繪製這些點相對於引數值的圖，然後找到穿過這些點的拋物線擬合的最小值來找到最佳擬合引數值 (Cuzzi 1972, pp. 162-168)。