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夏利耶級數

一類分佈導數的 формальный 級數展開 Psi(t)，該分佈可能是（但不必是）正態分佈函式

Phi(t)=1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)
(1)

以及矩或其他測量的引數。埃奇沃思級數也稱為夏利耶級數或格拉姆-夏利耶級數。令 psi(t) 為函式 Psi(t) 的特徵函式，gamma_r 為其累積量。類似地，令 F(t) 為要近似的分佈，f(t) 為其特徵函式，kappa_r 為其累積量。根據定義，這些量透過 формальный 級數關聯

f(t)=exp[sum_(r=1)^infty(kappa_r-gamma_r)((it)^r)/(r!)]psi(t)
(2)

（Wallace 1958）。分部積分得到 (it)^rpsi(t) 作為 (-1)^rPsi^((r))(x) 的特徵函式，因此 формальный 恆等式與恆等式成對對應

F(x)=exp[sum_(r=1)^infty(kappa_r-gamma_r)((-D)^r)/(r!)]Psi(x),
(3)

其中 D 是微分運算元。最重要的情況 Psi(t)=Phi(t) 由 Chebyshev (1890)、Charlier (1905-06) 和 Edgeworth (1905) 考慮。

根據導數的階數展開和收集項，得到所謂的格拉姆-夏利耶 A 級數，它與 F-Psi 在埃爾米特多項式中的 формальный 展開相同。對於尾部趨於零的速度快於 Psi^('1/2) 的函式 F，A 級數收斂（Cramér 1925，Wallace 1958，Szegö 1975）。

另請參閱

柯尼斯-費舍爾漸近展開，埃奇沃思級數

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參考文獻

Charlier, C. V. L. "Über das Fehlergesetz." Ark. Math. Astr. och Phys. 2, No. 8, 1-9, 1905-06.Chebyshev, P. L. "Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités." Acta Math. 14, 305-315, 1890.Cramér, H. "On Some Classes of Series Used in Mathematical Statistics." Proceedings of the Sixth Scandinavian Congress of Mathematicians, Copenhagen. pp. 399-425, 1925.Edgeworth, F. Y. "The Law of Error." Cambridge Philos. Soc. 20, 36-66 and 113-141, 1905.Gram, J. P. "Über die Entwicklung reeler Funktionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate." J. reine angew. Math. 94, 41-73, 1883.Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.Wallace, D. L. "Asymptotic Approximations to Distributions." Ann. Math. Stat. 29, 635-654, 1958.

在 上引用

夏利耶級數

請引用為

Weisstein, Eric W. "夏利耶級數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CharlierSeries.html

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