Cartan 子代數

設 是在某個域 上的有限維 李代數。 的一個 子代數 稱為 Cartan 子代數，如果它是 冪零的 並且等於它的正規化子，正規化子是滿足 的那些元素 的集合。

從定義可以得出，如果 是冪零的，那麼 本身就是 的 Cartan 子代數。另一方面，設 是 的所有 自同態 的李代數（對於某個自然數 ），其中 。那麼，形式為 的 的所有 自同態 的集合是 的 Cartan 子代數。

可以證明：

1. 如果 是無限的，那麼 具有 Cartan 子代數。

2. 如果 的特徵標等於 ，那麼 的所有 Cartan 子代數都具有相同的維數。

3. 如果 是代數閉的且其特徵標等於 0，那麼，給定 的兩個 Cartan 子代數 和 ，存在 的一個 自同構 使得 。

4. 如果 是半單的，且 是一個特徵標為 0 的無限域，那麼 的所有 Cartan 子代數都是阿貝爾的。

李代數 的每個 Cartan 子代數都是 的極大冪零子代數。然而， 的極大冪零子代數不一定是 Cartan 子代數。例如，如果 是 的所有 自同態 的李代數，其中 ，並且如果 是形式為 的所有 自同態 的子代數，那麼 是 的極大冪零子代數，但不是 Cartan 子代數。