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雙共軛梯度穩定方法

雙共軛梯度穩定 (BCGSTAB) 方法的開發是為了解決非對稱線性系統，同時避免 共軛梯度平方方法（van der Vorst 1992）經常出現的不規則收斂模式。BCGSTAB 計算 i|->Q_i(A)P_i(A)r^((0))，而不是計算 共軛梯度平方方法 序列 i|->P_i^2(A)r^((0))，其中 Q 是描述最速下降更新的 i 次 多項式。

BCGSTAB 的收斂速度通常與 共軛梯度平方方法 (CGS) 相當，有時更快，有時則不然。CGS 可以看作是一種方法，其中 雙共軛梯度方法 (BCG) “收縮”運算元應用了兩次。BCGSTAB 可以解釋為 BCG 和重複應用 廣義最小殘差方法 的乘積。至少在區域性範圍內，殘差向量被最小化，這導致了更平滑的收斂行為。另一方面，如果區域性 廣義最小殘差方法 步驟停滯，則 Krylov 子空間不會擴充套件，BCGSTAB 將會崩潰。這是一種崩潰情況，除了底層 BCG 演算法中的其他崩潰可能性之外，還可能發生這種情況。透過將 BCG 與其他方法結合使用，即透過為演算法中的 omega_i 選擇其他值，可以避免這種型別的崩潰。一種這樣的替代方法是 BCGSTAB2 (Gutknecht 1993)。Sleijpen 和 Fokkema (1993) 提出了更通用的方法。

請注意，BCGSTAB 有兩個停止測試：如果該方法已經在第一個關於 s 範數的測試中收斂，則後續更新在數值上將存在疑問。此外，在第一個測試時停止可以節省一些不必要的操作，但這並不重要。

BCGSTAB 需要兩次矩陣-向量乘積和四個內積，即比 雙共軛梯度方法 或 共軛梯度平方方法 多兩個內積 (van der Vorst 2003)。

另請參閱

雙共軛梯度方法, 切比雪夫迭代, 法方程上的共軛梯度方法 共軛梯度方法, 共軛梯度平方方法, 廣義最小殘差方法, 線性方程組, 最小殘差方法, 擬最小殘差方法 定常迭代法, 對稱 LQ 方法

本條目的部分內容由 Noel Black 和 Shirley Moore 貢獻，改編自 Barrett 等人 (1994) (作者連結)

使用 探索

參考文獻

Barrett, R.; Berry, M.; Chan, T. F.; Demmel, J.; Donato, J.; Dongarra, J.; Eijkhout, V.; Pozo, R.; Romine, C.; and van der Vorst, H. 線性系統求解模板：迭代方法的構建塊，第二版。 Philadelphia, PA: SIAM, 1994. http://www.netlib.org/linalg/html_templates/Templates.html.Gutknecht, M. H. "具有復譜矩陣的 Bi-CGSTAB 變體。" SIAM J. Sci. Comput. 14, 1020-1033, 1993.Sleijpen, G. L. G. and Fokkema, D. R. "用於處理具有復譜的非對稱矩陣的線性方程的 Bi-CGSTAB(l)。" Elec. Trans. Numer. Anal. 1, 11-32, 1993.van der Vorst, H. "Bi-CGSTAB：一種用於求解非對稱線性系統的 Bi-CG 的快速且平滑收斂的變體。" SIAM J. Sci. Statist. Comput. 13, 631-644, 1992.van der Vorst, H. 大型線性系統的迭代 Krylov 方法。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.

在 上引用

雙共軛梯度穩定方法

請引用為

Black, Noel; Moore, Shirley; 和 Weisstein, Eric W. “雙共軛梯度穩定方法。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BiconjugateGradientStabilizedMethod.html

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