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q-積分

積分的 q-模擬 由下式給出

int_0^1f(x)d(q,x)=(1-q)sum_(i=0)^inftyf(q^i)q^i,
(1)

在以下情況下，它簡化為

int_0^1f(x)dx
(2)

在 q->1^- 的情況下 (Andrews 1986 p. 10)。

特殊情況包括

int_0^1xd(q,x)=1/(1+q)
(3)
int_0^1x^2d(q,x)=1/(1+q+q^2)
(4)
int_0^1x^nd(q,x)=(q-1)/(q^(n+1)-1)
(5)
int_0^1lnxd(q,x)=(qlnq)/(1-q).
(6)

一個特定情況給出

int_0^infty(x^(a-1))/(1-x)d(q,x)=([Gamma_q(1/2)]^2)/(sigma_q(a)),
(7)

其中 Gamma_q 是 q-伽瑪函式，sigma_q 是雙週期 sigma 函式。如果 q=1，則積分簡化為

int_0^infty(x^(a-1))/(1-x)dx=pi/(sin(pia)).
(8)

另請參閱

q-模擬, q-貝塔函式, q-伽瑪函式

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參考文獻

Andrews, G. E. q-級數：在分析、數論、組合數學、物理學和計算機代數中的發展和應用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.Jackson, F. H. "q-定積分。" 數學季刊 41, 163, 1910.Jackson, F. H. "類似於 Borel 積分的 q-積分。" 數學信使 47, 57-64, 1917.

在 上引用

q-積分

請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "q-積分。" 來自 ——一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/q-Integral.html

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