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棣莫弗-拉普拉斯定理

n 步伯努利分佈（引數為 p 和 q=1-p）的漸近形式由下式給出

P_n(k)=(n; k)p^kq^(n-k)
(1)
∼1/(sqrt(2pinpq))e^(-(k-np)^2/(2npq))
(2)

(Papoulis 1984, 第 105 頁)。

Uspensky (1937) 將棣莫弗-拉普拉斯定理定義為 二項式級數 (p+q)^n 中，成功次數 x 落在 d_1 和 d_2 之間的項之和近似為

Q approx 1/(sqrt(2pi))int_(t_1)^(t_2)e^(-t^2/2)dt,
(3)

其中

t_1=(d_1-1/2-np)/sigma
(4)
t_2=(d_2+1/2-np)/sigma
(5)
sigma=sqrt(npq).
(6)

更具體地說，Uspensky (1937, 第 129 頁) 表明

Q=1/(sqrt(2pi))int_(t_1)^(t_2)e^(-t^2/2)dt+(q-p)/(6sqrt(2pi)sigma)[(1-t^2)e^(-t^2/2)]_(t_1)^(t_2)+Omega,
(7)

其中誤差項滿足

|Omega|<(0.13+0.18|p-q|)/(sigma^2)+e^(-3sigma/2)
(8)

對於 sigma>=5 (Uspensky 1937, 第 129 頁；Kenney 和 Keeping 1951, 第 36-37 頁)。 請注意，Kenney 和 Keeping (1951, 第 37 頁) 給出了稍小的分母 0.12+0.18|p-q|。

一個推論指出，n 次試驗中成功次數 x 與期望值 np 相差大於 d 的機率為 Pdelta=1-Q_delta，其中

Q_delta=2/(sqrt(2pi))int_0^deltae^(-t^2/2)dt,
(9)

其中

delta=(d+1/2)/sigma
(10)

(Kenney 和 Keeping 1951, 第 39 頁)。Uspensky (1937, 第 130 頁) 表明 Q_(delta_1)=P(|x-np|<=d) 由下式給出

Q_(delta_1)=2/(sqrt(2pi))int_0^(delta_1)e^(-u^2/2)du+(1-theta_1-theta_2)/(sqrt(2pi)sigma)e^(-delta_1^2/2)+Omega_1,
(11)

其中

delta_1=d/delta
(12)
theta_1=(nq+d)-|_nq+d_|
(13)
theta_2=(np+d)-|_np+d_|,
(14)

並且誤差項滿足

|Omega_1|<(0.20+0.25|p-q|)/(sigma^2)+e^(-3sigma/2),
(15)

對於 sigma>=5 (Uspensky 1937, 第 130 頁；Kenney 和 Keeping 1951, 第 40-41 頁)。

另請參閱

伯努利分佈, 二項式級數, 正態分佈, 弱大數定律

使用 探索

參考文獻

de la Vallée-Poussin, C. "伯努利定理的新證明。" 布魯塞爾科學學會年鑑 31, 219-236, 1907.de Moivre, A. 分析雜集. 第 5 卷, 1730.de Moivre, A. 機會論，或，計算遊戲中事件機率的方法，第 3 版。 紐約: 切爾西出版社, 2000. 1756 年第 3 版重印版. 原始版出版於 1716 年.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. "棣莫弗-拉普拉斯定理" 和 "屬性的簡單抽樣." 《統計數學》，第 2 部分，第 2 版，§2.10 和 2.11。普林斯頓，新澤西州: 範·諾strand 出版社, pp. 36-41, 1951.Laplace, P. 機率分析理論，第 3 版，作者修訂和增補。 巴黎: 庫爾西耶出版社, 1820. 重印於《拉普拉斯全集》，第 7 卷。巴黎: 戈蒂埃-維拉爾出版社, pp. 280-285, 1886.Mirimanoff, D. "拋硬幣遊戲與拉普拉斯和 J. Eggenberger 的公式。" 瑞士數學評論 2, 133-168, 1930.Papoulis, A. 機率、隨機變數和隨機過程，第 2 版。 紐約: 麥格勞-希爾出版社, 1984.Uspensky, J. V. "伯努利情況下機率的近似評估。" 《數學機率導論》第 7 章。紐約: 麥格勞-希爾出版社, pp. 119-138, 1937.

在 上被引用

棣莫弗-拉普拉斯定理

引用為

Weisstein, Eric W. "棣莫弗-拉普拉斯定理。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/deMoivre-LaplaceTheorem.html

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