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通用微分方程

通用微分方程 (UDE) 是一種非平凡的微分-代數方程，其特性是它的解可以任意精度逼近實數線上任何區間的任何連續函式。

Rubel (1981) 發現了第一個已知的 UDE，他證明了，給定任何連續函式 phi:R->R 和任何正連續函式 epsilon:R->R^+，存在一個 C^infty 解 y 滿足

3y^'^4y^('')y^('''')^2-4y^'^4y^(''')^2y^('''')+6y^'^3y^('')^2y^(''')y^('''')+24y^'^2y^('')^4y^('''')-12y^'^3y^('')y^(''')^3-29y^'^2y^('')^3y^(''')^2+12y^('')^7=0
(1)

使得

|y(t)-phi(t)|<epsilon(t)
(2)

對於所有 t in R。

Duffin (1981) 發現了另外兩個 UDE 族，

n^2y^('''')y^'^2+3n(1-n)y^(''')y^('')y^'+(2n^2-3n+1)y^('')^3=0
(3)

和

ny^('''')y^'^2+(2-3n)y^(''')y^('')y^'+2(n-1)y^('')^3=0,
(4)

它們的解是 C^n 對於 n>3。

Briggs (2002) 發現了另一個 UDE 族，由下式給出

y^('''')y^'^2-3y^(''')y^('')y^'+2(1-n^(-2))y^('')^3=0
(5)

對於 n>3。

另請參閱

微分-代數方程

此條目由 Keith Briggs 貢獻

使用 探索

參考文獻

Boshernitzan, M. “通用公式和通用微分方程。” Ann. Math. 124, 273-291, 1986.Boshernitzan, M. 和 Rubel, L. A. “多項式的相干族。” Analysis 6, 339-389, 1985.Briggs, K. “另一個通用微分方程。” 2002 年 11 月 8 日。 http://arxiv.org/abs/math.CA/0211142.Duffin, R. J. “Rubel 的通用微分方程。” Proc. Nat. Acad. Sci. USA 78, 4661-4662, 1981.Elsner, C. “關於用 C^infty-三階微分方程的解逼近連續函式。” Math. Nachr. 157, 235-241, 1992.Elsner, C. “一個通用泛函方程。” Proc. Amer. Math. Soc. 127, 139-143, 1999.Rubel, L. A. “一個通用微分方程。” Bull. Amer. Math. Soc. 4, 345-349, 1981.Rubel, L. A. “關於代數微分方程的一些研究問題。” Trans. Amer. Math. Soc. 280, 43-52, 1983.Rubel, L. A. “關於代數微分方程的一些研究問題 II。” Illinois J. Math. 36, 659-680, 1992.Rubel, L. A. “所有滿足相同代數微分方程的有理函式的一致逼近。” J. Approx. Th. 84, 123-128, 1996.

在 中被引用

通用微分方程

引用為

Briggs, Keith. “通用微分方程。” 來自 —— 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/UniversalDifferentialEquation.html

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