唯一可嵌入圖

一般來說，同一個平面圖的不同嵌入可以產生非同構的對偶圖。唯一可嵌入圖是一個平面圖，它具有唯一的對偶圖（在同構意義下），而與用於構造它的底層嵌入無關。

如果存在一個球面同胚將一個繪圖傳送到另一個繪圖，則平面圖的兩個嵌入是等價的。因此，唯一可嵌入圖在其球面上的所有嵌入彼此同胚。

Whitney (1932) 證明了多面體圖是唯一可嵌入的。

頂點數為 , 2, ... 的唯一可嵌入連通圖的數量為 1, 1, 2, 6, 15, 51, 206, 1297, 11742, 143095, 2056120, 32337106, ... (OEIS A372853)，其中前幾個如上所示。頂點數為 , 2, ... 的圖的最大平面嵌入數為 1, 1, 1, 1, 2, 6, 24, 80, 240, 1080, 3780, 13440, ... (OEIS A372854)。

由於某些樹的分支不能圍繞公共叉點進行同胚互換，因此並非所有樹都是唯一可嵌入的。最小的非唯一可嵌入樹有 7 個頂點，並且只有這樣一棵樹。它不是唯一可嵌入的，因為兩個短分支可以相鄰或在兩個長分支之間，從而給出兩個不同的平面嵌入。有四棵 8 頂點樹不是唯一可嵌入的，包括 4-蜈蚣圖。頂點數為 , 2, ... 的非唯一可嵌入樹的數量為 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 16, 49, 140, 390, ... (OEIS A378673)，相應的唯一可嵌入樹的數量為 1, 1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 31, 57, 95, 161, ... (OEIS A378672)。

Fleischner (1973) 找到了標記圖的唯一可嵌入圖的表徵。一個連通平面圖 （以某種方式涉及標記）在平面中是唯一可嵌入的，當且僅當 是以下圖之一

1. 同胚於一個 3-連通圖，

2. 同胚於完全二分圖 ，

3. 同胚於三角形圖 ，

4. 同胚於 或 ，

5. 同胚於 ，或

6. 同胚於 ，其中 且 。