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三角代換

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積分 形如

intf(costheta,sintheta)dtheta
(1)

可以透過進行代換 z=e^(itheta) 來求解，使得 dz=ie^(itheta)dtheta 並表達

costheta=(e^(itheta)+e^(-itheta))/2
(2)
=(z+z^(-1))/2
(3)
sintheta=(e^(itheta)-e^(-itheta))/(2i)
(4)
=(z-z^(-1))/(2i).
(5)

然後可以透過圍道積分求解該積分。

或者，進行 魏爾斯特拉斯代換 t=tan(theta/2) 將 (◇) 轉換為

intf((1-t^2)/(1+t^2),(2t)/(1+t^2))(2dt)/(1+t^2).
(6)

下表給出了可以用來轉換涉及平方根的積分的三角代換。

形式代換
sqrt(a^2-x^2)x=asintheta
sqrt(a^2+x^2)x=atantheta
sqrt(x^2-a^2)x=asectheta

另請參閱

圍道積分, 雙曲代換, 積分, 積分, 魏爾斯特拉斯代換

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. “三角代換。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TrigonometricSubstitution.html

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