主題
託格里亞蒂 (1940, 1949) 表明存在具有 31 個普通雙重點的五次曲面，儘管他沒有明確推匯出此類曲面的方程。Beauville (1978) 隨後證明了 31 個雙重點是最大可能的數量，因此具有 31 個普通雙重點的五次曲面有時被稱為託格里亞蒂曲面。van Straten (1993) 隨後構建了一個三維解族，並在 1994 年，Barth 推匯出了以下示例
![64(x-w)[x^4-4x^3w-10x^2y^2-4x^2w^2+16xw^3-20xy^2w+5y^4+16w^4-20y^2w^2]
-5sqrt(5-sqrt(5))(2z-sqrt(5-sqrt(5))w)[4(x^2+y^2+z^2)+(1+3sqrt(5))w^2]^2,](/images/equations/TogliattiSurface/NumberedEquation1.svg) |
其中 
是一個引數（Endraß 2003），上面為 
時的圖示。
該曲面在 群 
下是不變的，並且恰好包含 15 條線。其中五條是曲面與包含 16 個結點的 
-不變錐的交集，五條是曲面與包含 10 個結點的 
-不變平面的交集，最後五條是曲面與第二個不包含結點的 
-不變平面的交集 (Endraß 2003)。
ordine con soli punti doppi isolati." Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich 85, 127-132, 1940.Togliatti, E. "Sulle superficie monoidi col massimo numero di punti doppi." Ann. Mat. Pura Appl. 30, 201-209, 1949.van Straten, D. "A Quintic Hypersurface in 
with 130 Nodes." Topology 32, 857-864, 1993.
Weisstein, Eric W. "託格里亞蒂曲面。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/TogliattiSurface.html
