蘇丹嫁妝問題

一位蘇丹給予一位平民機會娶他 個女兒中的一位。這位平民將一次見到一位女兒，並且當每位女兒被介紹時，平民將被告知女兒的嫁妝（嫁妝是預先確定的）。當被介紹一位女兒時，平民必須立即決定接受還是拒絕她（他不能回到之前拒絕過的女兒）。然而，只有當平民選擇了嫁妝總額最高的女兒時，蘇丹才會允許婚姻發生。那麼，假設他對嫁妝的分佈一無所知（Mosteller 1987），平民的最佳策略是什麼？

由於平民對嫁妝的分佈一無所知，最佳策略是等待直到一定數量 的女兒被介紹之後，再選擇之後遇到的嫁妝最高的女兒（Havil 2003, p. 134）。要跳過的確切數量由以下條件確定：最高嫁妝已經被看到的機率略高於它仍然有待被看到並且如果它被看到將被選中的機率。這相當於找到最小的 使得

更具體地說，在等待了 位女兒之後，在總共 位女兒中獲得最高嫁妝的機率是

其中 是一個 調和數 (Havil 2003, p. 137)，上面繪製了一些特定的 值，作為 的函式（上左圖），以及在 和 中的表面圖（右圖）。

因此，解決方案是最小的 使得

解得，

數值求解並取 上限函式 ，然後給出對於 , 2, ... 個女兒的解為 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, ... (OEIS A054404)。

令人驚訝的是， 的 連分數 的收斂值，由 0, 1/2, 1/3, 3/8, 4/11, 7/19, 32/87, 39/106, 71/193, 465/1264, ... (OEIS A007676 和 A007677) 給出，與數對 完全對應，其中 是對於 個女兒的最佳值 (Havil 2003, p. 137)。

可以透過使用 在無窮遠處的級數展開獲得近似解，

其中 是 尤拉-馬歇羅尼常數，並將此近似代入 (4)，得到

這可以以閉合形式求解，以給出 的近似解，

其中 是 蘭伯特W函式。事實上，取 對於 給出了正確的結果。

另一種近似可以透過取 的級數展開來獲得，得到

對上述式子求導並設為 0，然後得到

對於所有 ，這都在正確答案的 1 以內。

上面的圖說明了這兩個近似值（紅色和藍色曲線）以及實際值（黑點）。這兩個近似都具有以下形式的級數展開

其中 和 是小常數。

這個問題最常見的表述是 個女兒，這給出的結果是，平民應該等到他見過 37 個女兒之後，再選擇第一個嫁妝比之前任何一個都大的女兒。使用這種策略，他選擇嫁妝最高女兒的機率出奇地高：大約 (Honsberger 1979, pp. 104-110, Mosteller 1987; Havil 2003, p. 136)。隨著女兒數量的增加，這個機率趨於 (OEIS A068985)。