穩定多項式

一個 實多項式 被稱為穩定的，如果它的所有 根 都位於 左半平面 中。“穩定”一詞用於描述這種多項式，因為線上性伺服機構理論中，系統表現出 形式的無外力時變運動，其中 是某個 實多項式 的根。因此，一個系統在機械上是穩定的 當且僅當 是一個穩定多項式。

多項式 是穩定的 當且僅當 ，且 不可約多項式 是穩定的 當且僅當 和 都大於零。勞斯-赫爾維茨定理 可用於確定多項式是否穩定。

給定兩個實多項式 和 ，如果 和 是穩定的，那麼它們的乘積 也是穩定的，反之亦然（Séroul 2000，第 280 頁）。因此，穩定實多項式的係數要麼都為正，要麼都為負（儘管這不是一個 充分 條件，如反例 所示）。此外，穩定多項式在 時的值永遠不為零，並且與多項式的係數具有相同的符號。

無需預先知道多項式的根，就可以使用 Strelitz (1977) 的以下定理來判斷多項式是否穩定。設 為一個實多項式，其根為 ，...，，構建 為首一實多項式，其次數為 ，根為 ，其中 。那麼 是穩定的 當且僅當 和 的所有係數都為正數（Séroul 2000，第 281 頁）。

例如，給定三階多項式 ，根和多項式 由下式給出

(1)

透過求解要求 和 的每個係數都大於零的不等式，可以得到 穩定的條件為 、、。

同樣，對於四階多項式 ，根和多項式為

(2)

因此， 穩定的條件可以解析為 、、、。

五階多項式為

(3)

以下 Wolfram 語言 程式碼計算根和多項式 以及從係數獲得的不等式

  RootSumPolynomial[r_List, x_]:=Module[
      {n = Length[r], i, j},
      RootReduce@Collect[Expand[
        Times@@((x - #)&/@Flatten[
          Table[r[[i]] + r[[j]], {i, n},
            {j, i+1, n}]])
      ], x]
  ]
  RootSumPolynomial[p_?PolynomialQ, x_]:=
    RootSumPolynomial[RootList[p, x], x]
  RootList[p_?PolynomialQ, x_]:=
    x /. {ToRules[Roots[p==0, x,
      Cubics -> False, Quartics -> False
    ]]}
  RootSumInequalities[p_?PolynomialQ, x_]:=
    And @@ (# > 0& /@
      Flatten[CoefficientList[#, x]& /@
        {RootSumPolynomial[p, x], p}])

而以下程式碼將三次情況下的不等式簡化為最小集合

  Resolve[Exists[x, Element[(a | b | c | x), Reals],
    RootSumInequalities[x^3 + a x^2 + b x + c, x]
  ], {a, b, c}]