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Somos 序列

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Somos 序列是一組相關的對稱遞推關係，令人驚訝的是，它們總是給出整數。階數為 k 的 Somos 序列，或 Somos-k 序列，定義為

a_n=(sum_(j=1)^(|_k/2_|)a_(n-j)a_(n-(k-j)))/(a_(n-k)),
(1)

其中 |_x_| 是向下取整函式，且當 j=0, ..., k-1 時，a_j=1。

2-Somos 和 3-Somos 序列完全由 1 組成。當 k=4, 5, 6 和 7 時，k-Somos 序列為

a_n=(a_(n-1)a_(n-3)+a_(n-2)^2)/(a_(n-4))
(2)
a_n=(a_(n-1)a_(n-4)+a_(n-2)a_(n-3))/(a_(n-5))
(3)
a_n=1/(a_(n-6))[a_(n-1)a_(n-5)+a_(n-2)a_(n-4)+a_(n-3)^2]
(4)
a_n=1/(a_(n-7))[a_(n-1)a_(n-6)+a_(n-2)a_(n-5)+a_(n-3)a_(n-4)].
(5)

前幾項總結在下表中。

kOEISa_0^((k)), a_1^((k)), ...
4A0067201, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, ...
5A0067211, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, ...
6A0067221, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, ...
7A0067231, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, ...

Speyer (2004) 發現了 Somos-4 和 Somos-5 的組合解釋，Carroll 和 Speyer (2004) 發現了 Somos-6 和 Somos-7 的組合解釋。

Gale (1991) 給出了 Somos-4 和 Somos-5 序列僅為整數性質的簡單證明，並將第一個證明歸功於 Janice Malouf。在未發表的工作中，Hickerson 和 Stanley 獨立證明了 Somos-6 序列僅為整數。Ben Lotto 在 1990 年發現了 Somos-7 僅為整數的未發表證明。Fomin 和 Zelevinsky (2002) 給出了 Somos-6 僅為整數的第一個已發表證明。

然而，當 k>=8 時，k-Somos 序列不給出整數。對於 k=8, 9, ... 的 Somos-k 序列，a_n 首次變為非整數的 n 值是 17, 19, 20, 22, 24, 27, 28, 30, 33, 34, 36, 39, 41, 42, 44, 46, 48, 51, 52, 55, 56, 58, 60, ... (OEIS A030127)。

另請參閱

Göbel 序列, Heronian 三角形

本條目部分內容由 Jim Propp 貢獻

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參考文獻

Buchholz, R. H. 和 Rathbun, R. L. "An Infinite Set of Heron Triangles with Two Rational Medians." Amer. Math. Monthly 104, 107-115, 1997.Carroll, G. D. 和 Speyer, D. "The Cube Recurrence." 2004 年 3 月 24 日. http://www.arxiv.org/abs/math.CO/0403417/.Fomin, S. 和 Zelevinsky, A. "The Laurent Phenomenon." Adv. Appl. Math. 28, 19-44, 2002.Gale, D. "Mathematical Entertainments: The Strange and Surprising Saga of the Somos Sequences." Math. Intel. 13, 40-42, 1991.Gima, H.; Matsusaka, T.; Miyazaki, T.; 和 Yara, S. "On Integrality and Asymptotic Behavior of the (k,l)-Göbel Sequences." 2024 年 2 月 14 日. https://arxiv.org/pdf/2402.09064.Malouf, J. L. "An Integer Sequence from a Rational Recursion." Disc. Math. 110, 257-261, 1992.Propp, J. "The Somos Sequence Site." http://jamespropp.org/somos.html.Robinson, R. M. "Periodicity of Somos Sequences." Proc. Amer. Math. Soc. 116, 613-619, 1992.Sloane, N. J. A. 序列 A006720/M0857, A006721/M0735, A006722/M2457, A006723/M2456, 和 A030127，出自 "整數序列線上百科全書"。Speyer, D. "Perfect Matchings and the Octahedron Recurrence." 2004 年 3 月 2 日. http://www.arxiv.org/abs/math.CO/0402452/.Stone, A. "The Astonishing Behavior of Recursive Sequences." Quanta. 2023 年 11 月 16 日. https://www.quantamagazine.org/the-astonishing-behavior-of-recursive-sequences-20231116.

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Somos 序列

引用為

Propp, Jim 和 Weisstein, Eric W. "Somos 序列。" 出自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SomosSequence.html

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