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Göbel 序列

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考慮遞推關係

x_n=(1+x_0^2+x_1^2+...+x_(n-1)^2)/n,
(1)

其中 x_0=1。 x_n 的前幾項迭代為 1, 2, 3, 5, 10, 28, 154, ... (OEIS A003504)。這些項增長極快，但由漸近公式給出

x_n approx (n+2-n^(-1)+4n^(-2)-21n^(-3)+138n^(-4)-1091n^(-5)+...)C^(2^n)
(2)

(OEIS A116603；修正了 Finch 2003, p. 446)，其中

C=1.04783144757641122955990946274313755459...
(3)

(OEIS A115632；Finch 2003, p. 446；Zagier)。

使用變換後的序列更方便

s_n=2+x_1^2+x_2^2+...+x_(n-1)^2=nx_n,
(4)

它給出了新的遞推式

s_(n+1)=s_n+(s_n^2)/(n^2)
(5)

初始條件為 s_1=2。此序列的前幾項為 2, 6, 15, 40, 140, 924, 24640, ... (OEIS A061322)。現在，當且僅當 ns_n 時，s_(n+1) 將為非整數 當且僅當 ns_n。最小的素數 p 使得 s_p≢0 (mod p) 因此給出了最小的非整數 s_(p+1)。此外，由於 ps_p，x_p=s_p/p 也將是最小的非整數 x_p。

例如，以下表格總結了前幾個序列 {s_n (mod p)}_(n=1)^p。（請注意，應用於分數的同餘會產生整數值。）

p{s_n (mod p)}_(n=1)^p
20, 0
32, 0, 0
52, 1, 0, 0, 0
72, 6, 1, 5, 0, 0, 0
112, 6, 4, 7, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0
132, 6, 2, 1, 10, 1, 5, 1, 0, 0, 0, 0, 0
172, 6, 15, 6, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 0

雖然對於 n 和 p 的小值，可以顯式計算 s_n（以及因此它們模 p 的值），但分數很快就會變得太大而無法精確表示。但是，直接計算模 p 的項可以避免項的增長，並且以這種方式測試 p 的值表明，第一個非整數 x_p 是 x_(43)。正如預期的那樣，直接驗證這一事實是不可能的，因為

x_(43) approx 5.4093×10^(178485291567)
(6)

（使用漸近公式計算得出）太大而無法顯式計算和儲存。 p 的前幾個值，對於這些值，x_p 不是整數，是 43, 61, 67, 83, 103, 107, 109, 157, ... (OEIS A378851)。

一個更引人注目的序列是 3-Göbel 序列，它僅對有限多個項假設整數值

x_n=(1+x_0^3+x_1^3+...+x_(n-1)^3)/n.
(7)

此序列的前幾項為 1, 2, 5, 45, 22815, ... (OEIS A005166)。

Göbel 序列可以推廣到 k 次冪，透過

x_n=(1+x_0^k+x_1^k+...+x_(n-1)^k)/n.
(8)

Göbel 序列可以推廣到 (k,l)-Göbel 序列，由遞迴定義

(n+1)g_(k,l)(n+1)=g_(k,l)(n)(n+g_(k,l)(n)^(k-1))
(9)

對於整數 k,l>=2 且初始值為 g_(k,l)(1)=l (Ibstedt 1990, Gima et al. 2024)。

另請參見

Somos 序列

使用 探索

參考文獻

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 446, 2003.Gima, H.; Matsusaka, T.; Miyazaki, T.; and Yara, S. "On Integrality and Asymptotic Behavior of the (k,l)-Göbel Sequences." 2024 年 2 月 14 日。 https://arxiv.org/pdf/2402.09064.Guy, R. K. "The Strong Law of Small Numbers." Amer. Math. Monthly 95, 697-712, 1988.Guy, R. K. "A Recursion of Göbel." §E15 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 214-215, 1994.Ibstedt, H. "Some Sequences of Large Integers." Fib. Quart. 28, No. 3, 200-203, 1990.Sloane, N. J. A. Sequences A003504/M0728, A005166/M1551, A061322, A115632, A116603, 和 A378851 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stone, A. "The Astonishing Behavior of Recursive Sequences." Quanta. 2023 年 11 月 16 日。 https://www.quantamagazine.org/the-astonishing-behavior-of-recursive-sequences-20231116.Zaiger, D. "Solution: Day 5, Problem 3." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Solution5.3.html.

在 中被引用

Göbel 序列

請引用為

Weisstein, Eric W. "Göbel's Sequence." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/GoebelsSequence.html

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