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比率分佈

給定兩個分佈 Y 和 X，其聯合機率密度函式為 f(x,y)，令 U=Y/X 為比率分佈。則 u 的分佈函式為

D(u)=P(U<=u)
(1)
=P(Y<=uX|X>0)+P(Y>=uX|X<0)
(2)
=int_0^inftyint_0^(ux)f(x,y)dydx+int_(-infty)^0int_(ux)^0f(x,y)dydx.
(3)

則機率函式為

P(u)=D^'(u)
(4)
=int_0^inftyxf(x,ux)dx-int_(-infty)^0xf(x,ux)dx
(5)
=int_(-infty)^infty|x|f(x,ux)dx.
(6)

對於具有標準正態分佈的變數，比率分佈是柯西分佈。

對於均勻比率分佈

f(x,y)={1 for x,y in [0,1]; 0 otherwise,
(7)
P(u)={0 u<0; int_0^1xdx=[1/2x^2]_0^1=1/2 for 0<=u<=1; int_0^(1/u)xdx=[1/2x^2]_0^(1/u)=1/(2u^2) for u>1.
(8)

另請參閱

柯西分佈, 差分佈, 積分佈, 和分佈, 均勻比率分佈

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. “比率分佈。” 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/RatioDistribution.html

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