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拉馬努金主定理


假設在 x=0 的某個鄰域內,x=0,

 F(x)=sum_(k=0)^infty(phi(k)(-x)^k)/(k!)
(1)

對於某個函式(比如解析或可積函式)phi(k)

 int_0^inftyx^(n-1)F(x)dx=Gamma(n)phi(-n).
(2)

這些函式構成正/逆變換對。例如,對於所有 kphi(k)=1 得到

 F(x)=sum_(k=0)^infty((-x)^k)/(k!)=e^(-x),
(3)

 int_0^inftyx^(n-1)e^(-x)dx=Gamma(n),
(4)

這正是 伽馬函式 的常用積分公式。

拉馬努金使用這個定理,透過代入 phi(n) 的特定值來生成驚人的恆等式。


另請參閱

Glasser 主定理, 拉馬努金插值公式

此條目部分內容由 Jonathan Sondow 貢獻 (作者連結)

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參考文獻

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks: Part I. New York: Springer-Verlag, p. 298, 1985.Edwards, H. M. "Ramanujan's Formula." §10.10 in Riemann's Zeta Function. New York: Dover, pp. 218-225, 2001.

在 上被引用

拉馬努金主定理

引用為

Sondow, JonathanWeisstein, Eric W. "拉馬努金主定理。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/RamanujansMasterTheorem.html

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