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鐵路軌道問題

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RailroadProblem

給定一段長度為 l 的直線軌道，增加一小段 Deltal，使軌道彎曲成圓 弧。 找到彎曲軌道的最大位移 d。 勾股定理給出

R^2=x^2+(1/2l)^2.
(1)

但是 R 只是 x+d，所以

R^2=(x+d)^2=x^2+2xd+d^2.
(2)

解方程 (1) 和 (2) 得到 x

x=(1/4l^2-d^2)/(2d).
(3)

用中心角表示 弧的長度，

1/2(l+Deltal)=theta(d+x)
(4)
=theta(d+(1/4l^2-d^2)/(2d))
(5)
=theta((2d^2+1/4l^2-d^2)/(2d))
(6)
=theta((d^2+1/4l^2)/(2d)).
(7)

但是 theta 由下式給出

tantheta=(1/2l)/x=(1/2l(2d))/(1/4l^2-d^2)=(dl)/(1/4l^2-d^2),
(8)

所以代入 theta 得到

1/2(l+Deltal)=((d^2+1/4l^2)/(2d))tan^(-1)((dl)/(1/4l^2-d^2))
(9)
d(l+Deltal)=(d^2+1/4l^2)tan^(-1)((dl)/(1/4l^2-d^2)).
(10)

這是一個超越方程，對於 d 沒有閉式解，但是對於 l>>d，

(dl)/(1/4l^2(1-(d^2)/(4l^2)))=(4d)/l(1-(4d^2)/(l^2))^(-1) approx (4d)/l(1+(4d)/(l^2)).
(11)

因此，

d(l+Deltal) approx (d^2+1/4l^2){(4d)/l(1+(4d^2)/(l^2))-1/3[(4d)/l(1+(4d^2)/(l^2))]^3}
(12)
approx (d^2+1/4l^2)[(4d)/l+(16d^3)/(l^3)-1/3((4d)/l)^3(1+3(4d^2)/(l^2))].
(13)

僅保留到 (d/l)^3 階的項，

dl+Deltal approx (4d^3)/l+dl+(4d^3)/l-(16)/3(d^3)/l
(14)
Deltal approx (8-(16)/3)(d^3)/l=(24-16)/3(d^3)/l=8/3(d^3)/l,
(15)

所以

d^2=3/8lDeltal
(16)

並且

d approx 1/2sqrt(3/2lDeltal)=1/4sqrt(6lDeltal).
(17)

如果我們取 l=1 mile=5280 feet 並且 Deltal= 1 英尺，那麼 d approx 44.45 英尺。 數值求解方程 (◇)，我們發現真實答案是 d=44.498455... 英尺。

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參考文獻

Abbott, P. "In and Out: Acton's Railroad Problem." Mathematica J. 7, 448-450, 2000.Acton, F. S. Numerical Methods That Work, 第二版. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1990.

在 中被引用

鐵路軌道問題

引用為

Weisstein, Eric W. "鐵路軌道問題。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/RailroadTrackProblem.html

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