二次非剩餘

如果沒有整數 使得

即，如果同餘式 (35) 無解，則 被稱為模 的二次非剩餘。如果同餘式 (35) 有解，則 被稱為模 的二次剩餘。

實際上，只需將範圍限制為 ，其中 是向下取整函式，因為對稱性 。

下表總結了小 的二次非剩餘 (OEIS A105640)。

	二次非剩餘
1	(無)
2	(無)
3	2
4	2, 3
5	2, 3
6	2, 5
7	3, 5, 6
8	2, 3, 5, 6, 7
9	2, 3, 5, 6, 8
10	2, 3, 7, 8
11	2, 6, 7, 8, 10
12	2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11
13	2, 5, 6, 7, 8, 11
14	3, 5, 6, 10, 12, 13
15	2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14
16	2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15
17	3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14
18	2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 17
19	2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18
20	2, 3, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19

模 的二次非剩餘的數量，對於 , 2, ... 是 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 5, 8, 6, 6, ... (OEIS A095972)。

對於 , 4, ... 最小的二次非剩餘是 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, ... (OEIS A020649)。對於 , 3, 5, 7, 11, ... 最小的二次非剩餘是 2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, ... (OEIS A053760)。

如果廣義黎曼猜想為真，則對於 ，一個數（模 ）的第一個二次非剩餘總是小於 (Wedeniwski 2001)。

下表給出了 的值，使得最小的二次非剩餘是 對於小的 。

	OEIS	使得 是最小的二次非剩餘
2	A025020	3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, ...
3	A025021	7, 14, 17, 31, 34, 41, 49, 62, 79, 82, ...
5	A025022	23, 46, 47, 73, 94, 97, 146, 167, 193, ...
7	A025023	71, 142, 191, 239, 241, 359, 382, ...