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二次積分

計算 如下形式 的積分

int(dx)/(a+bx+cx^2),
(1)

在分母中完成平方得到

int(dx)/(a+bx+cx^2)=1/cint(dx)/((x+b/(2c))^2+(a/c-(b^2)/(4c^2))).
(2)

令 u=x+b/2c。然後定義

-A^2=a/c-(b^2)/(4c^2)=1/(4c^2)(4ac-b^2)=1/(4c^2)q,
(3)

其中

q=4ac-b^2
(4)

是多項式判別式的負數。如果 q<0，則

A=1/(2c)sqrt(-q).
(5)

現在使用部分分式分解，

1/cint(du)/((u+A)(u-A))=1/cint((A_1)/(u+A)+(A_2)/(u-A))du
(6)
((A_1)/(u+A)+(A_2)/(u-A))=(A_1(u-A)+A_2(u+A))/(u^2-A^2) =((A_1+A_2)u+A(A_2-A_1))/(u^2-A^2),
(7)

因此 A_2+A_1=0=>A_2=-A_1 並且 A(A_2-A_1)=-2AA_1=1=>A_1=-1/(2A)。代入這些，

1/cint(-1/(2A)1/(u+A)+1/(2A)1/(u-A))du =1/(2Ac)[-ln(u+A)+ln(u-A)] =1/(2Ac)ln((u-A)/(u+A)) =1/(2(1/(2c))sqrt(-q)c)ln((x+b/(2c)-1/(2c)sqrt(-q))/(x+b/(2c)+1/(2c)sqrt(-q))) =1/(sqrt(-q))ln((2cx+b-sqrt(-q))/(2cx+b+sqrt(-q)))
(8)

對於 q<0。請注意，此積分也在 Gradshteyn 和 Ryzhik (2000, 方程 2.172) 中列出，其中給出的符號被翻轉。

另請參閱

二次的

使用 探索

參考文獻

Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 積分表、級數和乘積表，第 6 版。 聖地亞哥，加利福尼亞州：學術出版社，2000 年。

在 上引用

二次積分

請這樣引用

Weisstein, Eric W. “二次積分。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/QuadraticIntegral.html

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