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迴文素數

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PalindromicPrimes

迴文素數是既是迴文數又是素數的數字。前幾個（十進位制）迴文素數是 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, ... (OEIS A002385; Beiler 1964, p. 228)。小於給定數字的迴文素數數量如上圖所示。具有 n=1, 2, 3, ... 位數的迴文數數量分別為 4, 1, 15, 0, 93, 0, 668, 0, 5172, 0, ... (OEIS A016115; De Geest)，而小於 10, 10^2, 10^3, ... 的迴文素數總數分別為 4, 5, 20, 20, 113, 113, 781, ... (OEIS A050251)。Gupta (2009) 計算了高達 10^(21) 的迴文素數數量。

下表列出了各種小基數中的迴文素數。

bOEIS基數-b 迴文素數
2A11769711, 101, 111, 10001, 11111, 1001001, 1101011, ...
3A1176982, 111, 212, 12121, 20102, 22122, ...
4A1176992, 3, 11, 101, 131, 323, 10001, 11311, 12121, ...
5A1177002, 3, 111, 131, 232, 313, 414, 10301, 12121, 13331, ...
6A1177012, 3, 5, 11, 101, 111, 141, 151, 515, ...
7A1177022, 3, 5, 131, 212, 313, 515, 535, 616, ...
8A0063412, 3, 5, 7, 111, 131, 141, 161, 323, ...
9A1177032, 3, 5, 7, 131, 151, 212, 232, 272, 414, ...
10A0023852, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, ...

Banks et al. (2004) 證明了幾乎所有迴文數（在任何基數中）都是合數，精確的表述是

P(x)∼O((N(x)lnlnlnx)/(lnlnx)),
(1)

其中 P(x) 是迴文素數的數量 <=x，而 N(x) 是迴文數的數量 <=x。

迴文素數的倒數之和收斂於 approx 1.3240 (OEIS A118064)，這個數字有時被稱為 Honaker 常數 (Rivera)，其中使用所有迴文素數 <=10^(11) 計算出的值為 1.32398... (M. Keith)。

透過取 π 的十進位制展開中的 n 位數字並在最後一位數字處反射而形成的前幾個迴文素數是 3, 313, 31415926535897932384626433833462648323979853562951413, ... (OEIS A039954; Caldwell)。這些數字對於 n=1, 2, 27, 151, 461, 2056, ... (OEIS A119351) 是素數，對於 n<=56755 沒有其他素數 (E. W. Weisstein, Mar. 21, 2009)。

使得 n 和 nth 素數 p_n 都是迴文數的前幾個 n 由 1, 2, 3, 4, 5, 8114118, ... (OEIS A046942; Rivera) 給出，對應於 p_n 為 2, 3, 5, 7, 11, 143787341 (OEIS A046941; Rivera)。

形式為的迴文素數

pp_n(x)=x^n+(x+1)^n
(2)

對於 n=2 包括 5, 181, 313, 3187813, ... (OEIS A050239; De Geest, Rivera)，它們出現在 x=1, 9, 12, 1262, ... (OEIS A050236; De Geest, Rivera) 時，對於 n<10^(20) 和 x<2×10^(10) 沒有其他 (De Geest)。

截至 2014 年 11 月，已知的最大回文素數是

P=10^(474500)+999·10^(237249)+1,
(3)

它有 474501 位十進位制數字 (http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=53#records)。

參見

貝爾費戈素數, 迴文數, 素數

使用 探索

參考文獻

Banks, W. D.; Hart, D. N.; 和 Sakata, M. "Almost All Palindromes Are Composite." Math. Res. Lett. 11, 853-868, 2004.Beiler, A. H. 數論娛樂：數學女王的款待。 New York: Dover, 1964.Caldwell, C. "The Top Twenty: Palindrome." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=53#records.Caldwell, C. "Prime Curios!: 31415...51413 (53-digits)." http://primes.utm.edu/curios/page.php?curio_id=725.De Geest, P. "Palindromic Numbers and Other Recreational Topics." http://www.worldofnumbers.com/index.shtml.De Geest, P. "Palindromic Prime Statistics--The Table." http://www.worldofnumbers.com/palprim1.htm.De Geest, P. "Palindromic Prime Page 3." http://www.worldofnumbers.com/palprim3.htm.De Geest, P. "Palindromic Sums of Squares of Consecutive Integers." http://www.worldofnumbers.com/sumsquare.htm.Gupta, S. S. "Palindromic Primes Up to 10^(21)." 2009 年 3 月 13 日。 http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0903&L=nmbrthry&T=0&F=&S=&P=2104.Jobling, P. "Re: Record Palindrome." 2005 年 12 月 27 日。 http://groups.yahoo.com/group/primeform/message/6764.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 014-Pal-Primes and Sum of Powers." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_014.htm.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 051-Pi Such that Pi is Palprime & i = Palindrome." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_051.htm.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 056-The Honaker's Constant." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_056.htm.Sloane, N. J. A. 序列 A002385/M0670, A006341, A016115, A039954, A046941, A046942, A050251, A050236, A050239, A117697, A117698, A117699, A117700, A117701, A117702, A117703, A118064, 和 A119351，出自 "整數序列線上百科全書"。

在 上被引用

迴文素數

引用為

Eric W. Weisstein. "迴文素數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PalindromicPrime.html

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