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第一類修正球貝塞爾函式

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ModifiedSphericalBesselI

第一類修正球貝塞爾函式（Abramowitz 和 Stegun 1972），也稱為“第一類球修正貝塞爾函式”（Arfken 1985），是修正球貝塞爾微分方程的第一個解，由下式給出

i_n(x)=sqrt(pi/(2x))I_(n+1/2)(x),
(1)

其中 I_n(z) 是第一類修正貝塞爾函式（Arfken 1985，第 633 頁）。

對於正數 x，對於小的非負整數指標，前幾個值是

i_0(x)=(sinhx)/x
(2)
i_1(x)=(xcoshx-sinhx)/(x^2)
(3)
i_2(x)=((x^2+3)sinhx-3xcoshx)/(x^3)
(4)
i_3(x)=((x^3+15x)coshx-(6x^2+15)sinhx)/(x^4)
(5)
i_4(x)=((x^4+45x^2+105)sinhx-(10x^3+105x)coshx)/(x^5)
(6)

(OEIS A094674 和 A094675)。

寫作

i_n(z)=g_n(z)sinhz+g_(-(n+1))(z)coshz,
(7)

則 g_n 由以下遞推方程給出

g_(n-1)(z)-g_(n+1)(z)=(2n+1)z^(-1)g_n(z)
(8)

以及

g_0(z)=z^(-1)
(9)
g_1(z)=-z^(-2)
(10)

(Abramowitz 和 Stegun 1972，第 443 頁)。

i_n(x) 的奇偶性為 (-1)^n (Arfken 1985，第 633 頁)。

i_n(x) 與第一類球貝塞爾函式 j_n(x) 的關係為

i_n(x)=i^(-n)j_n(ix)
(11)

對於 x>0 和整數 n (Arfken 1985，第 633 頁)。

它們也滿足以下微分恆等式

i_(n+1)(x)=x^nd/(dx)(x^(-n)i_n)
(12)
i_n(x)=x^n(d/(xdx))^n(sinhx)/x,
(13)

以及遞推關係

i_(n-1)(x)-i_(n+1)(x)=(2n+1)/xi_n(x)
(14)
ni_(n-1)(x)+(n+1)i_(n+1)(x)=(2n+1)i_n^'(x)
(15)

(Arfken 1985，第 634 頁)。

另請參閱

第一類修正貝塞爾函式, 第二類修正球貝塞爾函式

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). “修正球貝塞爾函式。” §10.2 見 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 紐約：Dover，第 443-445 頁，1972 年。Arfken, G. 物理學家數學方法，第 3 版。 奧蘭多，佛羅里達州：Academic Press，第 633-634 頁，1985 年。Sloane, N. J. A. 序列 A094674 和 A094675，出自“整數序列線上百科全書”。

在 中被引用

第一類修正球貝塞爾函式

請引用為

Weisstein, Eric W. “第一類修正球貝塞爾函式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ModifiedSphericalBesselFunctionoftheFirstKind.html

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