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第二類修正球貝塞爾函式

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ModifiedSphericalBesselK

第二類修正球貝塞爾函式，也稱為“第一類球修正貝塞爾函式”（Arfken 1985）或（遺憾地）“第三類修正球貝塞爾函式”（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 443 頁），是修正球貝塞爾微分方程的第二類解，由下式給出

k_n(x)=sqrt(2/(pix))K_(n+1/2)(x),
(1)

其中 K_n(z) 是第二類修正貝塞爾函式（Arfken 1985，第 633 頁）

對於正數 x，小非負整數指標的前幾個值是

k_0(x)=(e^(-x))/x
(2)
k_1(x)=(e^(-x)(x+1))/(x^2)
(3)
k_2(x)=(e^(-x)(x^2+3x+3))/(x^3)
(4)
k_3(x)=(e^(-x)(x^3+6x^2+15x+15))/(x^4)
(5)
k_4(x)=(e^(-x)(x^4+10x^3+45x^2+105x+105))/(x^5)
(6)

(OEIS A001498)。

寫作

k_n(z)=e^(-x)f_n(x),
(7)

則 f_n 由遞推方程給出

f_n(z)=f_(n-2)(z)+(2n-1)z^(-1)f_(n-1)(z)
(8)

以及

f_0(z)=z^(-1)
(9)
f_1(z)=(z+1)/(z^2)
(10)

(Abramowitz 和 Stegun 1972，第 444 頁)。

k_n(x) 沒有確定的奇偶性（Arfken 1985，第 633 頁）。

k_n(x) 與第一類球漢克爾函式 h_n^((1))(x) 相關，關係式為

k_n(x)=-i^nh_n^((1))(ix)
(11)

對於 x>0 和整數 n （Arfken 1985，第 633 頁）。

它們也滿足微分恆等式

k_(n+1)(x)=-x^nd/(dx)(x^(-n)k_n)
(12)
k_n(x)=(-1)^nx^n(d/(xdx))^n(e^(-x))/x,
(13)

和遞推關係

k_(n-1)(x)-k_(n+1)(x)=-(2n+1)/xk_n(x)
(14)
nk_(n-1)(x)+(n+1)k_(n+1)(x)=-(2n+1)k_n^'(x)
(15)

(Arfken 1985，第 634 頁)。

另請參閱

貝塞爾多項式, 第二類修正貝塞爾函式, 第一類修正球貝塞爾函式

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Modified Spherical Bessel Functions." §10.2 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 443-445, 1972.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 663-634, 1985.Sloane, N. J. A. Sequence A001498 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

第二類修正球貝塞爾函式

引用為

Weisstein, Eric W. “第二類修正球貝塞爾函式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ModifiedSphericalBesselFunctionoftheSecondKind.html

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