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梅塞爾公式

是 勒讓德公式 關於 素數計數函式 pi(x) 的一種修正。 它從以下公式開始：

|_x_|=1+sum_(1<=i<=a)|_x/(p_i)_|-sum_(1<=i<j<=a)|_x/(p_ip_j)_|+sum_(1<=i<j<k<=a)|_x/(p_ip_jp_k)_|-...+pi(x)-a+P_2(x,a)+P_3(x,a)+...,
(1)

其中 |_x_| 是 向下取整函式，P_2(x,a) 是 整數 p_ip_j<=x 的數量，其中 a+1<=i<=j，並且 P_3(x,a) 是 整數 p_ip_jp_k<=x 的數量，其中 a+1<=i<=j<=k，以此類推。

由 P_i 滿足的恆等式包括

P_2(x,a)=sum[pi(x/(p_i))-(i-1)]
(2)

對於 p_a<p_i<=sqrt(x) 和

P_3(x,a)=sum_(i>a)P_2(x/(p_i),a)
(3)
=sum_(i=a+1)^(c)sum_(j=i)^(pi(sqrt(x/p_i)))[pi(x/(p_ip_j))-(j-1)].
(4)

梅塞爾公式是

pi(x)=|_x_|-sum_(i=1)^c|_x/(p_i)_|+sum_(1<=i<j<=c)|_x/(p_ip_j)_|-...+1/2(b+c-2)(b-c+1)-sum_(c<i<=b)pi(x/(p_i)),
(5)

其中

b=pi(x^(1/2))
(6)
c=pi(x^(1/3)).
(7)

將推導再向前一步得到 萊梅公式。

另請參閱

勒讓德公式，萊梅公式，素數計數函式

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參考文獻

Gram, J. "關於 M. Bertelsen 進行的關於素數的一些計算的報告。" Acta Math. 17, 301-314, 1893.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於他的人生和工作啟發的十二次講座，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 46, 1999.Mathews, G. B. 第 10 章，見 數論。 New York: Chelsea, 1961.Meissel, E. D. F. "計算前十億個自然數中素數的數量。" Math. Ann. 25, 251-257, 1885.Riesel, H. "梅塞爾公式。" 素數與計算機分解方法，第 2 版。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 12-13, 1994.Séroul, R. "梅塞爾公式。" §8.7.3，見 數學家程式設計。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 179-181, 2000.

在 中被引用

梅塞爾公式

請引用為

Weisstein, Eric W. “梅塞爾公式。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/MeisselsFormula.html

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