馬里昂定理

馬里昂定理（《數學教師》1993年，Maushard 1994年，Morgan 1994年）指出，透過三等分三角形每條邊，並將相應的點與對角頂點連線所確定的中心六邊形區域的面積，是原始三角形面積的 1/10。

這可以很容易地使用三線座標證明。在上圖中，，，，並且根據多等分公式，三等分點的三線座標為

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

然後，其他標記的點可以計算為

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)

然後，使用三角形面積的三線方程，可以得到上面彩色三角形的面積，以原始三角形的面積表示。

			(19)
			(20)
			(21)
			(22)

然後取剩餘的紅色部分得到

			(23)
			(24)

正如最初所宣告的那樣。

馬里昂定理的一個推廣，有時被稱為摩根定理，是由巴爾的摩 Patapsco 高中的二年級學生 Ryan Morgan 發現的（Morgan 1994）。如果三角形的邊被分成 個相等的段（ 為奇數），並且每個分點都連線到對角頂點，則仍然會形成一箇中心六邊形（Maushard 1994）。摩根定理指出，這個六邊形的面積

(25)

相對於原始三角形（Morgan 1994）。對於 , 3, 5, ...，這給出了中心九邊形數 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, ... 的倒數之一 (OEIS A060544)。