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最小二乘擬合--指數

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LeastSquaresExp

為了擬合函式形式

y=Ae^(Bx),
(1)

對兩邊取對數

lny=lnA+Bx.
(2)

最佳擬合值是

a=(sum_(i=1)^(n)lny_isum_(i=1)^(n)x_i^2-sum_(i=1)^(n)x_isum_(i=1)^(n)x_ilny_i)/(nsum_(i=1)^(n)x_i^2-(sum_(i=1)^(n)x_i)^2)
(3)
b=(nsum_(i=1)^(n)x_ilny_i-sum_(i=1)^(n)x_isum_(i=1)^(n)lny_i)/(nsum_(i=1)^(n)x_i^2-(sum_(i=1)^(n)x_i)^2),
(4)

其中 B=b 且 A=exp(a)。

這種擬合給予較小的 y 值更大的權重，因此，為了平等地權衡這些點，通常最好最小化以下函式

sum_(i=1)^ny_i(lny_i-a-bx_i)^2.
(5)

應用最小二乘擬合得到

asum_(i=1)^ny_i+bsum_(i=1)^nx_iy_i=sum_(i=1)^ny_ilny_i
(6)
asum_(i=1)^nx_iy_i+bsum_(i=1)^nx_i^2y_i=sum_(i=1)^nx_iy_ilny_i
(7)
[sum_(i=1)^(n)y_i sum_(i=1)^(n)x_iy_i; sum_(i=1)^(n)x_iy_i sum_(i=1)^(n)x_i^2y_i][a; b]=[sum_(i=1)^(n)y_ilny_i; sum_(i=1)^(n)x_iy_ilny_i].
(8)

求解 a 和 b,

a=(sum_(i=1)^n(x_i^2y_i)sum_(i=1)^n(y_ilny_i)-sum_(i=1)^n(x_iy_i)sum_(i=1)^n(x_iy_ilny_i))/(sum_(i=1)^ny_isum_(i=1)^n(x_i^2y_i)-(sum_(i=1)^nx_iy_i)^2)
(9)
b=(sum_(i=1)^ny_isum_(i=1)^n(x_iy_ilny_i)-sum_(i=1)^n(x_iy_i)sum_(i=1)^n(y_ilny_i))/(sum_(i=1)^ny_isum_(i=1)^n(x_i^2y_i)-(sum_(i=1)^nx_iy_i)^2).
(10)

在上圖中，短虛線曲線是由 (◇) 和 (◇) 計算得到的擬合，長虛線曲線是由 (9) 和 (10) 計算得到的擬合。

另請參閱

最小二乘擬合, 最小二乘擬合--對數, 最小二乘擬合--冪律

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請引用為

Weisstein, Eric W. "最小二乘擬合--指數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LeastSquaresFittingExponential.html

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