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亥姆霍茲微分方程--拋物線座標

尺度因子是 h_u=h_v=sqrt(u^2+v^2), h_theta=uv 並且分離函式是 f_1(u)=u, f_2(v)=v, f_3(theta)=1, 給定一個 Stäckel 行列式為 S=u^2+v^2。 拉普拉斯算符是

1/(u^2+v^2)(1/u(partialF)/(partialu)+(partial^2F)/(partialu^2)+1/v(partialF)/(partialv)+(partial^2F)/(partialv^2))+1/(u^2v^2)(partial^2F)/(partialtheta^2)+k^2F=0.
(1)

嘗試分離變數法，寫作

F(u,v,theta)=U(u)V(v)Theta(theta),
(2)

則亥姆霍茲微分方程變為

1/(u^2+v^2)[VTheta(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+UTheta(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))] +(UV)/(u^2v^2)(d^2Theta)/(dtheta^2)+k^2UVTheta=0.
(3)

現在乘以 u^2v^2/(UVTheta),

(u^2v^2)/(u^2+v^2)[1/U(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+1/V(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))] +1/Theta(d^2Theta)/(dtheta^2)+k^2u^2v^2=0.
(4)

分離 Theta 部分得到

1/Theta(d^2Theta)/(dtheta^2)=-m^2,
(5)

其解為

Theta(theta)=A_mcos(mtheta)+B_msin(mtheta).
(6)

將 (5) 代入 (4) 並乘以 (u^2+v^2)/(u^2v^2) 得到

[1/U(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+1/V(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))] -m^2(u^2+v^2)/(u^2v^2)+k^2(u^2+v^2).
(7)

改寫，

[1/U(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+1/V(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))] -m^2(1/(v^2)+1/(u^2))+k^2(u^2+v^2).
(8)

這可以被重新排列成兩項，每一項僅包含 u 或 v，

[1/U(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+k^2u^2-(m^2)/(u^2)] +[1/V(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))+k^2v^2-(m^2)/(v^2)]
(9)

因此可以透過令第一部分等於 c，第二部分等於 -c 來分離，得到

(d^2U)/(du^2)+1/u(dU)/(du)+(k^2u^2-(m^2)/(u^2)-c)U=0
(10)
(d^2V)/(dv^2)+1/v(dV)/(dv)+(k^2v^2-(m^2)/(v^2)+c)V=0.
(11)

另請參閱

亥姆霍茲微分方程, 拋物線座標

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參考文獻

Arfken, G. "拋物線座標 (xi,eta,phi)。" §2.12 in 物理學家數學方法，第二版 奧蘭多，佛羅里達州：Academic Press，pp. 109-111, 1970。Moon, P. 和 Spencer, D. E. 場論手冊，包括座標系、微分方程及其解，第二版 紐約：Springer-Verlag，p. 36, 1988。Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理論物理學方法，第一部分。 紐約 McGraw-Hill，pp. 514-515 和 660, 1953。

請引用為

Weisstein, Eric W. “亥姆霍茲微分方程--拋物線座標。” 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/HelmholtzDifferentialEquationParabolicCoordinates.html

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