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亥姆霍茲微分方程--笛卡爾座標系

在二維笛卡爾座標系中，嘗試分離變數，寫成

F(x,y)=X(x)Y(y),
(1)

那麼亥姆霍茲微分方程變為

(d^2X)/(dx^2)Y+(d^2Y)/(dy^2)X+k^2XY=0.
(2)

兩邊同除以 XY 得到

1/X(d^2X)/(dx^2)+1/Y(d^2Y)/(dy^2)+k^2=0.
(3)

這導致了兩個耦合的常微分方程，分離常數為 m^2,

1/X(d^2X)/(dx^2)=m^2
(4)
1/Y(d^2Y)/(dy^2)=-(m^2+k^2),
(5)

其中 X 和 Y 可以根據邊界條件互換。這些方程的解為

X=A_me^(mx)+B_me^(-mx)
(6)
Y=C_me^(isqrt(m^2+k^2)y)+D_me^(-isqrt(m^2+k^2)y)
(7)
=E_msin(sqrt(m^2+k^2)y)+F_mcos(sqrt(m^2+k^2)y).
(8)

則通解為

F(x,y)=sum_(m=1)^infty(A_me^(mx)+B_me^(-mx)) ×[E_msin(sqrt(m^2+k^2)y)+F_mcos(sqrt(m^2+k^2)y)].
(9)

在三維笛卡爾座標系中，嘗試分離變數，寫成

F(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z),
(10)

那麼亥姆霍茲微分方程變為

(d^2X)/(dx^2)YZ+(d^2Y)/(dy^2)XZ+(d^2Z)/(dz^2)XY+k^2XYZ=0.
(11)

兩邊同除以 XYZ 得到

1/X(d^2X)/(dx^2)+1/Y(d^2Y)/(dy^2)+1/Z(d^2Z)/(dz^2)+k^2=0.
(12)

這導致了三個耦合的微分方程

1/X(d^2X)/(dx^2)=l^2
(13)
1/Y(d^2Y)/(dy^2)=m^2
(14)
1/Z(d^2Z)/(dz^2)=-(k^2+l^2+m^2),
(15)

其中 X, Y, 和 Z 可以根據邊界條件置換。因此，通解為

F(x,y,z)=sum_(l=1)^inftysum_(m=1)^infty(A_le^(lx)+B_le^(-lx))(C_me^(my)+D_me^(-my)) ×(E_(lm)e^(-isqrt(k^2+l^2+m^2)z)+F_(lm)e^(isqrt(k^2+l^2+m^2)z)).
(16)

另請參閱

笛卡爾座標系, 亥姆霍茲微分方程

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參考文獻

Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理論物理方法，第一部分。 紐約：McGraw-Hill，pp. 501-502, 513-514 和 656, 1953。

請引用為

Weisstein, Eric W. "亥姆霍茲微分方程--笛卡爾座標系。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HelmholtzDifferentialEquationCartesianCoordinates.html

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