Hadamard 圖

一個 -Hadamard 圖是一個在個頂點上的圖，根據 Hadamard 矩陣 Hadamard 矩陣定義如下。定義個符號、、和，其中代表“行”，代表“列”，並將這些作為圖的頂點。然後，對於每個矩陣元素，當時，構造兩條邊；對於每個矩陣元素，當時，構造兩條邊 (Brouwer 等人，1989，第 19 頁)。

因此，對於每個存在相應 Hadamard 矩陣的值，都存在一個 -Hadamard 圖，即、2，並且猜想對於所有可被 4 整除的都存在，截至 2009 年 1 月，最小的不確定值是。給定階數的 Hadamard 矩陣可能存在多個不同的矩陣，但它們對應的 Hadamard 圖不一定是不同的。雖然 4、8、16 等階數的不同 Hadamard 矩陣的數量分別為 1、1、1、5、3、60、487、...，但對應的非同構 Hadamard 圖的數量分別為 1、1、1、4、3、36、294、....

請注意，Hadamard 矩陣的定義似乎有兩種變體。特別是，Wallis（1988，第 165 頁）要求 Hadamard 圖的一半頂點（對應於行）被賦予自環，而其餘頂點（對應於列）則不應賦予。相比之下，Brouwer 等人（1989，第 19 頁）的定義（本文采用的定義）省略了這種自環。請注意，雖然帶有自環的 Hadamard 圖可以用作確定 Hadamard 矩陣等價性的工具，但沒有自環的 Hadamard 圖則不能（L. Baird，私人通訊，2008 年 11 月）。

一個 -Hadamard 圖是距離正則的，其相交陣列為 (Brouwer 等人，1989，第 19 頁)。如果是 2 的冪或者，則 -Hadamard 圖是距離傳遞的 (Brouwer 等人，1989，第 227-228 頁)。