一階邏輯 -- 來自 - 數學天地

一階邏輯（也稱為一階謂詞演算）的項的集合由以下規則定義

1. 變數是一個項。

2. 如果是一個元函式符號（其中），且 , ..., 是項，則是一個項。

如果是一個元謂詞符號（同樣，其中），且 , ..., 是項，則是一個原子語句。

考慮語句公式和，其中是一個語句公式，是全稱量詞（“對於所有”），而是存在量詞（“存在存在”）。稱為相應量詞的作用域，並且變數在量詞作用域內的任何出現都由最接近的或約束。變數在公式中是自由的，如果在中的至少一次出現沒有被內的任何量詞約束。

一階謂詞演算的語句公式的集合由以下規則定義

2. 如果和是語句公式，則（非），（與），（或），以及（蘊含）是語句公式（參見命題演算）。

3. 如果是一個語句公式，其中是一個自由變數，則和是語句公式。

在一階謂詞演算的公式中，所有變數都是物件變數，充當函式和謂詞的引數。（在二階謂詞演算中，變數可以表示謂詞，並且量詞可以應用於表示謂詞的變數。）一階謂詞演算的公理模式的集合由命題演算的公理模式以及以下兩個公理模式組成

	(1)
	(2)

其中是任何語句公式，其中自由出現，是一個項，是用替換語句公式中的自由出現的結果，並且中所有變數的所有出現都在中自由。

一階謂詞演算中的推理規則是肯定前件和以下兩個規則

	(3)
	(4)

其中是任何語句公式，其中以自由變數的形式出現，不以自由變數的形式出現在公式中，並且該符號表示如果線上方的公式是透過應用推理規則從公理中正式推匯出的定理，則線下方的語句公式也是一個正式定理。

與命題演算類似，和的引入和消除規則可以在一階謂詞演算中匯出。例如，以下規則成立，前提是是用變數替換語句公式中的自由出現的結果，並且由此替換產生的的所有出現都在中自由，

(5)

哥德爾完備性定理確立了一階謂詞演算的有效公式與一階謂詞演算的形式定理之間的等價性。與命題演算相比，真值表的使用不適用於在一階謂詞演算中查詢有效的語句公式，因為它的真值表是無限的。然而，哥德爾完備性定理為確定有效性開闢了一條道路，即透過證明。

一階邏輯