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費馬商

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對於數字 a 和素數基數 p，費馬商定義為

q_p(a)=(a^(p-1)-1)/p.
(1)

如果 pab, 那麼

q_p(ab)=q_p(a)+q_p(b)
(2)
q_p(p+/-1)=∓1
(3)

(mod p), 其中模數被視為分數同餘。

特殊情況 a=2 由下式給出

q_p(2)=(2^(p-1)-1)/p
(4)
=1/2sum_(k=1)^(p-1)((-1)^(k-1))/k
(5)
=1/2ln2+1/4(-1)^p[gamma_0(1/2(p+1))-gamma_0(1/2p)]
(6)
=1/2sum_(k=(p+1)/2)^(p-1)1/k
(7)
=1/2[gamma_0(p)-gamma_0(1/2(p+1))],
(8)

再次全部 (mod p)，其中模數被視為分數同餘，gamma_0(z) 是 digamma 函式，最後兩個等式僅適用於奇素數。

q_p(2) 對於 p 素數是一個整數，對於 p=2, 3, 5, ... 的值分別為 1, 3, 2, 5, 3, 13, 3, 17, 1, 6, ....

已知量 q_p(2)=(2^(p-1)-1)/p 僅對於兩個素數（所謂的 Wieferich 素數 1093 和 3511 (Lehmer 1981, Crandall 1986)）同餘於零 (mod p)。

另請參閱

Wieferich 素數

使用 探索

參考文獻

Crandall, R. 科學計算專案。 New York: Springer-Verlag, 1986.Dickson, L. E. 數論史，第 1 卷：可除性和素性。 New York: Dover, p. 105, 2005.Lehmer, D. H. "關於以 2 為底的費馬商。" Math. Comput. 36, 289-290, 1981.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 70, 1986.

在 上被引用

費馬商

請引用為

Weisstein, Eric W. "費馬商。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FermatQuotient.html

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