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法圖定理


f(theta)勒貝格可積且設

 f(r,theta)=1/(2pi)int_(-pi)^pif(t)(1-r^2)/(1-2rcos(t-theta)+r^2)dt
(1)

為相應的泊松積分。那麼在 -pi<=theta<=pi, 中幾乎處處

 lim_(r->0^-)f(r,theta)=f(theta).
(2)

 F(z)=c_0+c_1z+c_2z^2+...+c_nz^n+...
(3)

|z|<1 上正則,且設積分

 1/(2pi)int_(-pi)^pi|F(re^(itheta))|^2dtheta
(4)

對於 r<1 有界。此條件等價於

 |c_0|^2+|c_1|^2+...+|c_n|^2+....
(5)

的收斂。那麼在 -pi<=theta<=pi 中幾乎處處,

 lim_(r->0^-)F(re^(itheta))=F(e^(itheta)).
(6)

此外,F(e^(itheta)) 是可測的,|F(e^(itheta))|^2勒貝格可積的,且 F(e^(itheta))傅立葉級數由寫成 z=e^(itheta) 給出。


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參考文獻

Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. 普羅維登斯,羅德島州:美國數學會,第 274 頁,1975 年。

在 上被引用

法圖定理

引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "法圖定理。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/FatousTheorems.html

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